Ordem de operações

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Em matemática, ordem de operações refere-se à convenção que indica a ordem pela qual devem ser realizadas as operações numa expressão.

Parênteses[editar | editar código-fonte]

Na Língua Portuguesa, os parênteses são usados para destacar as palavras. Na Matemática, destacam a prioridade de cálculo: as contas dentro de parênteses são resolvidas primeiro.

Podem ser usados vários tipos de parênteses, como parênteses (), Colchetes [] ou chaves {}, mas estes servem apenas para uma melhor visualização dos pares e não têm influência na ordem.

Outro método utilizado para uma melhor identificação dos pares de parênteses consiste na utilização de diversos tamanhos de parênteses, como por exemplo em \left(\begin{matrix}  &  \\  &  \end{matrix}\!\!\!\!(2+3)\times 4\right)\times(1+5), ou parênteses de cores diferentes, como é utilizado no Microsoft Excel.

Outros agrupamentos[editar | editar código-fonte]

Existem outras formas de agrupar sub-expressões (que devem ser calculadas primeiro). Como exemplos temos o símbolo de raiz ou a barra de conjugação complexa:

  • 3\sqrt[2+7]{5+6}=3\sqrt[9]{11}
  • i.\overline{i+2i}=i.\overline{3i}

Supressão de parênteses[editar | editar código-fonte]

Uma vez que a presença de parênteses regula totalmente a ordem dos cálculos, quaisquer outras regras seriam redundantes. No entanto, por motivos de clareza de escrita, muitas vezes os parênteses são suprimidos e, por este motivo, convencionou-se uma ordem pela qual se devem efectuar os cálculos na ausência de parênteses. Nos casos em que possam surgir dúvidas convém usar parênteses, ou esclarecer qual a regra que está a ser usada. Por exemplo, \mathrm{sen}\, 2x pode ser interpretado como (\mathrm{sen}\, 2)\times x, \mathrm{sen}\,(2\times x) ou, nalguns textos, (\mathrm{sen}\,(x))^2.

Actualmente, os processadores de texto permitem retirar alguns parênteses mantendo o rigor e aumentando a clareza. Por exemplo a expressäo \frac{a+b}{cd} não suscita nenhuma dúvida de que significa (a+b)/(c \times d).

Precedência das operações[editar | editar código-fonte]

Na ausência de parênteses, as operações realizam-se pela ordem seguinte:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

A expressão

1+3×2^3^sen4!/5+5×8

que graficamente se pode representar por

1+3\times 2^{3^{\frac{\mathrm{sen}\, 4!}{5}}}+5\times 8

é equivalente à expressão com parênteses

1+(3×(2^(3^((sen(4!))/5))))+(5×8).

Motivo da precedência da potenciação sobre a multiplicação e desta sobre a adição[editar | editar código-fonte]

A razão prende-se com a distributividade. De facto na expressão a+b \times c, quer pretendessemos dizer (a+b) \times c, quer a+(b \times c), poderiamos sempre começar com uma multiplicação, uma vez que (a+b) \times c=a \times c+b \times c. No entanto, a+(b \times c) não pode ser calculada começando com uma adição. Deste modo, podendo começar sempre com multiplicações, é natural que a ausência de parênteses indique também que se comece pelas multiplicações. O mesmo se passa no que diz respeito à potenciação versus multiplicação, uma vez que a \times (b^c) não pode calculada começando por uma multiplicação.

Curiosidades[editar | editar código-fonte]

Na notação polonesa e na notação polonesa inversa, outra forma de realizar precedências do cálculo aritmético, o uso dos operadores de ordem de operações não são necessários. Em contrapartida os operandos e as operações devem ser ordenadas mentalmente a fim de realizar o cálculo desejado.