Oscilação acoplada

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O sistema massa-mola é um modelo utilizado na Física para estudo das oscilações de partículas[1] .

Sistema massa-mola simples[editar | editar código-fonte]

Um sistema massa-mola consiste no acoplamento de um corpo de massa m a uma mola com fator restaurador k (constante de deformação), enquanto a outra extremidade está ligada a um ponto fixo conforme mostrado na Figura 1. Se tal sistema encontra-se em equilíbrio a posição da massa é denotada por O (x=0) e toda vez que tentamos tirar o nosso sistema desse ponto O, surgirá uma força restauradora: F = - kx, que tenta trazê-lo de volta a situação inicial. As posições -XM e XM representam, respectivamente, a mola comprimida e a mola estendida (Figura 1). Se puxarmos o bloco de massa m e, em seguida, o soltarmos, veremos o nosso sistema oscilando em torno da posição de equilíbrio O.

Figura 1: Sistema massa-mola.

Aplicando a 2ª lei de Newton temos:

 F= m\ddot x=-kx
.

A sua solução é da forma x = x_m\cos{\omega}_{0}t onde

{\omega}_0 = \sqrt[2]{k \over m}

é a freqüência de oscilação natural do sistema.

Sistema massa-mola composto[editar | editar código-fonte]

Se acoplarmos a esse sistema massa-mola a outro conforme mostrado na Figura 2 e aplicarmos novamente as leis de Newton temos para as massas m1 e m2, respectivamente,  m_1\ddot x_1=-kx_1-k(x_1-x_2) e  m_2\ddot x_2=-kx_2-k(x_2-x_1). As soluções para tais equações também serão oscilatórias só que agora encontraremos duas freqüências de oscilação para o sistema e não apenas uma como no caso anterior. As novas freqüências permitidas serão:

{\omega}_1 = \sqrt[2]{3k\over m} e {\omega}_2 = \sqrt[2]{k \over m}
Figura 2: Duas massas acopladas uma a outra por uma mola e a posições fixas também por molas.

Se agora tivermos três massas acopladas, teremos três novas freqüências de oscilação diferentes.Analogamente, se tivermos N massas acopladas teremos N modos normais correspondentes. Mostrando que a interação entre as massas faz com que apareçam novas freqüencias, abrindo o espectro de frequências permitidas. A Figura 3 mostra o espectro de freqüências de um sistema de acordo com o número de massas.

Figura 3: Espectro de frequências de acordo con o número n de massas acopladas.

Consideremos agora o sistema massa-mola ilustrado na Figura 4 formado por infinitos conjuntos massa-mola desacoplados, cada par massa-mola individualmente nessa forma possui um dado modo normal de vibração (uma freqüência natural de oscilação), todos os pares possuem o mesmo modo normal e a Hamiltoniana que contempla esse sistema é dá forma:

 H_o = \sum_{j=0}^\infty E_o \mid\phi_j\rangle \langle\phi_j\mid
Figura 4: Sistema infinito de pares massa-mola desacoplados.

com representação matricial:

H =\begin{pmatrix} \ddots \\ &  E_o & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & E_o & 0 & 0 \\ & 0 & 0& E_o & 0 \\ & 0 & 0 & 0 & E_o \\ &
 & & & & \ddots\end{pmatrix}

Se acoplamos esses pares da forma mostrada na Figura 5 a nova hamiltoniana do sistema será:

 H = \sum_{j=1}^\infty E_o \mid\phi_j\rangle \langle\phi_j\mid +  \sum_{j=1}^\infty J(\mid\phi_j\rangle \langle\phi_{J+1}\mid + \mid\phi_{j+1}\rangle \langle\phi_J\mid )
Figura 5: Sistema infinito de pares massa-mola acoplados.

Sua representação matricial é da forma

H =\begin{pmatrix} \ddots \\ &  E_o & -A & 0 & 0 \\ & -A & E_o & -A & 0 \\ & 0 & -A & E_o & -A \\ & 0 & 0 & -A & E_o \\ &
 &   &    &  &  \ddots\end{pmatrix}

Vemos, portanto que ao acoplar os osciladores o seu espectro de freqüências se abre permitindo novas freqüências diferentes individuais de cada par massa-mola. Um efeito semelhante ocorre quando juntamos vários átomos para formar uma cadeia linear. Ou seja, o sistema mostrado na Figura 4 é análogo a uma cadeia linear de átomos acoplados, apesar do fato de ser apenas um modelo clássico.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Experimento de montagem de modelo massa-mola e estudo das oscilações (em português)

Referências Bibliográficas[editar | editar código-fonte]

  • MARRION, J.B.; THORNTON, S.T. Classical Dynamics of Particles & Systems, 1995.
  • COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics, 1ª edição. Wiley, Vol. 2, p.1442-1446, 1977.