Oscilador harmônico

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Oscilador harmônico simples (ideal, sem amortecimento ou força externa)

Oscilador harmônico, em Física, é qualquer sistema que apresenta movimento harmônico de oscilação. É dito oscilador pelo fato de alguma entidade física oscilar, isto é, mover-se de algum modo, num movimento de vai-vem, em torno de uma posição central. Chama-se harmônico por ser o seu movimento caracterizado e descrito por uma função harmônica do tempo.

Classificação

Pode ser definido em Física clássica, bem como em Física quântica-relativística. Pode ser de um dos tipos:

1. oscilador harmônico simples (que não é forçado nem amortecido)(amortecimento);
2. oscilador harmônico complexo, (que é forçado e/ou amortecido):
   1. oscilador harmônico apenas forçado; ou
   2. oscilador harmônico apenas amortecido; ou
   3. oscilador harmônico forçado e amortecido;

Conquanto osciladores harmônicos simples sejam tão-somente uma idealização físico-matemática, seu estudo justifica-se pelo fato prático imensamente importante de, em muitos casos de análises reais de osciladores harmônicos complexos, ser possível e até conveniente a redução ao tratamento como se fossem daquele tipo ideal. Isso representa enormes ganhos em vários aspectos.

Todavia, a rigor, cada tipo requer tratamento físico-matemático específico.

Em física clássica

Mecânica clássica

Em física clássica — primeiramente em mecânica clássica — um oscilador harmônico corresponde a um sistema que quando tirado da posição de equilíbrio apresenta uma força restauradora F proporcional ao deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke:

$F = -k x \,$

onde k é uma constante positiva, dita constante elástica.

Se F for a única força atuando no sistema, o sistema será chamado de oscilador harmônico simples. É caracterizado por um movimento de "vai-e-vem" e seu deslocamento é uma função senoidal do tempo. É característica desse sistema a amplitude constante e frequência constante.

Se houver uma força de atrito que contraria o movimento dize-se um oscilador harmônico amortecido. Nessa situação a frequência de oscilações é menor que no oscilador sem amortecimento, além de a amplitude das oscilações diminuir conforme o tempo.

Caso haja uma força externa dependente do tempo dize-se que se trata de um oscilador harmônico forçado.

Finalmente, se comparecem tanto a força externa como o atrito interno, tem-se o caso do oscilador harmônico forçado e amortecido.

Exemplos de osciladores harmônicos são pêndulos, massas ligadas a molas, vibrações acústicas, além de vários outros.

Eletromagnetismo clássico

Uma analogia interessante pode-se estabelecer entre os osciladores mecânicos clássicos forçados e amortecidos com o circuito elétrico RLC submetidos a uma fonte externa de energia elétrica, pois têm a mesma solução matemática (sua equação diferencial característica é de mesma forma e ordem).

Oscilador harmônico simples

Ver artigo principal: Oscilador harmônico simples

O oscilador harmônico simples é isolado de forças externas, além de não ter amortecimento algum. Então a única força que age é a força elástica da mola:

$F = -k x \,$

Usando a 2ª Lei de Newton:

$F = ma = -k x \,$

A aceleração a é igual a derivada segunda de x:

$m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$

Se definirmos ${\omega_0}^2 = k/m$, então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0$

Podemos observar que:

$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}$

Substituindo:

$\frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0$

$\mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot \mathrm{d}x = 0$

Integrando:

$\dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K$

onde K é uma constante, dado K = (A ω₀)²

$\dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2$

$\dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}$

$\frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t$

Integrando dos dois lados (sendo φ a contante resultante da integração) teremos:

$\begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\ \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}$

E assim teremos a solução geral para x :

$x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,$

Sendo que a amplitude $A \,$ e a fase inicial $\phi \,$ serão determinadas através das condições iniciais.

Do mesmo modo poderíamos escrever:

$x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,$

Entretanto agora $\phi \,$ está deslocado $\pi/2 \,$ em relação a forma anterior.

Ou senão podemos escrever também:

$x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,$

já que a que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para a equação diferencial.

A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:

$\displaystyle f = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

Ver também

• Circuito elétrico RLC;
• Movimento;
• Movimento harmônico (física);
• Movimento periódico;