Pêndulo

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Uma ilustração de um pêndulo simples.

Em Mecânica, um pêndulo simples é um instrumento ou uma montagem que consiste num objecto que oscila em torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos alternados em torno da posição central, chamada posição de equilíbrio. O pêndulo é muito utilizado em estudos da força peso e do movimento oscilatório.

A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objecto leva para percorrer toda a trajectória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico). Derivada dessa grandeza, existe a frequência (f), numericamente igual ao inverso do período (f = 1 / T), e que portanto se caracteriza pelo número de vezes (ciclos) que o objecto percorre a trajectória pendular num intervalo de tempo específico. A unidade da frequência no SI é o hertz, equivalente a um ciclo por segundo(1/s).

Equação do movimento[editar | editar código-fonte]

Denota-se por \theta\, o ângulo formado entre a vertical e o braço de pêndulo. Faz-se as seguintes hipóteses:

  1. O braço é formado por um fio não flexível que se mantém sempre com o mesmo formato e comprimento.
  2. Toda a massa, m\,, do pêndulo está concentrada na ponta do braço a uma distância constante L\, do eixo.
  3. Não existem outras forças a actuar no sistema senão a gravidade e a força que mantém o eixo do pêndulo fixo. (O movimento é portanto conservativo).
  4. O pêndulo realiza um movimento bidimensional no plano xy.

É fácil ver que a segunda lei de Newton fornece a seguinte equação diferencial ordinária não-linear conhecida como equação do pêndulo:

{d^2\theta\over dt^2}+{g\over L} \sin\theta=0.

Fórmula do Período para pequenas oscilações[editar | editar código-fonte]

Para pequenas oscilações, a aproximação \sin\theta \simeq \theta\, fornece a seguinte expressão para o período do pêndulo:

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

T: período

L: comprimento do fio

Uma e válida mesmo para amplitudes tão grandes como 60^o\, é dada por:

T = 2\pi\sqrt{l \over g} \left(1 + {\theta_0^2 \over 16}\right).

Estimando o comprimento do pêndulo[editar | editar código-fonte]

T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} pode ser expresso como \ell = {\frac{g}{\pi^2}}\times{\frac{T_0^2}{4}}.

Se usarmos o Sistema internacional de unidades (isto é, comprimento em metros e tempo em segundos), então, na superfície da Terra (g = 9.80665 m/s²), o comprimento do pêndulo pode ser estimado de forma simples a partir do seu período:

\ell\approx{\frac{T_0^2}{4}}

Em outras palavras:

Na superfície da Terra, o comprimento de um pêndulo em metros é aproximadamente um quarto do quadrado do seu período em segundos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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