Parábola

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Este artigo ou se(c)ção cita uma ou mais fontes fiáveis e independentes, mas ela(s) não cobre(m) todo o texto.
Por favor, melhore este artigo providenciando mais fontes fiáveis e independentes e inserindo-as em notas de rodapé ou no corpo do texto, conforme o livro de estilo.
Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoScirusBing. Veja como referenciar e citar as fontes.
Uma parábola

A parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone (chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). É uma curva plana. [1]

Definições e visão geral[editar | editar código-fonte]

Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)

Equações da geometria analítica[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cartesianas, uma parábola com um eixo paralelo ao eixo y com vértice (h, k), foco (h, k + p), e diretriz y = k - p, com p sendo a distância entre o vértice e o foco, possui a equação

(x - h)^2 = 4p(y - k)

ou, alternativamente

(y - k) = \frac{1}{4p}(x-h)^2

De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível da forma :A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 tal que B^2 = 4 AC, em que todos os coeficientes são reais, em que A e/ou C é não nulo, e na qual mais de uma solução, definindo um par de pontos (x, y) na parábola, existe. O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

Outras definições geométricas[editar | editar código-fonte]

Parábola como seção cônica.

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.[2] Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.[2]

Uma parábola possui um eixo único de simetria reflexiva, o qual passa através de seu foco e é perpendicular à diretriz. O ponto de interseção deste eixo com a parábola é chamado de vértice.[2] Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.

Parábola é uma curva gerada por todos os pontos que se situam igualmente distantes de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz).

Equações[editar | editar código-fonte]

Parábola com foco (F) e diretriz (L)

Cartesiana[editar | editar código-fonte]

Eixo vertical de simetria[editar | editar código-fonte]

Estas deduções se baseiam em uma parábola de eixo vertical, com vértice (h, k) e a distância p entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco (equivalentemente, abaixo da diretriz) p é positivo, caso contrário p é negativo.

Como um ponto (x, y) na parábola dista do foco (de coordenadas (h, k + p)) tanto quanto da diretriz (linha horizontal de equação cartesiana y = k - p), podemos escrever:[2]

\sqrt{(x - h)^2 + (y - k - p)^2} = \|y - k + p\|

Portanto:

(x - h)^2 + (y - k - p)^2 = (y - k + p)^2
(x - h)^2 = (y - k - p)^2 - (y - k + p)^2
(x - h)^2 = 4 p (y - k)
4 p (y - k) = (x - h)^2

O que pode ser reescrito na forma usual (trinômio do segundo grau):

y = ax^2 + bx + c
\mbox{onde }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k;
h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}.

Uma equação paramétrica (outras parametrizações são possíveis; a escolha de x(t) foi arbitrária, e y(t) é consequência) é:

x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k
Eixo horizontal de simetria[editar | editar código-fonte]
(y - k)^2 = 4p(x - h)
x = a(y - k)^2 + h
x = ay^2 + by + c
\mbox{onde }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h;
h = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}.
x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k

Semi-reta e coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e topo no eixo x negativo é dada pela equação

r (1 - \cos \theta) = l

onde l = 2 p é a distância do foco à parábola, medida através de uma linha perpendicular ao eixo. Note que esta é o dobro da distância do foco ao vertex da parábola ou a distância perpendicular do foco à diretriz.

Forma em coordenadas gaussianas[editar | editar código-fonte]

A forma em coordenadas gaussianas é dada por: (\tan^2\phi,2\tan\phi) e possui a normal (\cos\phi,\mathrm{sen}\,\phi).

Aplicações práticas[editar | editar código-fonte]

Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e sistemas de vital importância para nossa sociedade. Dentre eles, podemos destacar:

Antenas parabólicas e Radares[editar | editar código-fonte]

É comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos eletromagnéticos.

Faróis de veículos[editar | editar código-fonte]

Os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eixo da parábola formando o facho.

As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.

Referências

  1. Affonso Rocha Giongo. Curso de Desenho Geométrico. [S.l.]: Nobel, 1974. Capítulo: Retificação da circunferência 78 p.
  2. a b c d Marcos Noé. Parábola (em português). R7. Brasil Escola. Página visitada em 26 de dezembro de 2012.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Commons
O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Parábola