Parábola

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Uma parábola

Parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz)[1] [2] . Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis.

Definições e visão geral[editar | editar código-fonte]

Parábola de foco F(p,0) e diretriz x = -p.

Equações da geometria analítica[editar | editar código-fonte]

Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são equidistantes de um ponto dado F (foco) e uma reta dada r (diretriz) que não contém F[3] . Assim, em coordenadas cartesianas, uma parábola de foco F(p, 0) e reta diretriz r: x = -p tem equação[4]

y^2 = 4px.

Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o eixo das abscissas ou sobre o eixo das ordenadas e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:

x^2 = 4py

é , também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco F(0, p) e diretriz r: y = -p. De fato, por definição, P(x, y) pertence à parábola se, e somente se:

d(P, F) = d(P, r)

onde, d(\cdot, \cdot) denota a distância euclidiana. Assim, para uma parábola de foco F(p, 0) e diretriz r:x=-p, temos:

\sqrt{(x-p)^2 + y^2} = \sqrt{(x+p)^2} \Leftrightarrow (x-p)^2 + y^2 = (x+p)^2

que é equivalente à equação y^2 = 4px. O procedimento é análogo para uma parábola de foco F(0, p) e diretriz r:y=-p, mostrando que, neste caso, x^2 = 4py.

O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco F e é perpendicular a sua reta diretriz r. O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima |p| corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.

Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)

Observamos que, por translação, obtemos a equação de uma parábola com vértice V(h,k), foco F(h+p, k) e diretriz r: x = h - p por:

(y - k)^2 = 4p(x-h).

Analogamente, uma parábola com vértice V(h,k), foco F(h, k+p) e diretriz r: y = k - p é descrita pela equação:

(x - h)^2 = 4p(y - k).

De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível de coeficientes reais da forma:

a x^2 + 2b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0

com b^2 = ac, a + c \neq 0. O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

Outras definições geométricas[editar | editar código-fonte]

Parábola como seção cônica.

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.[5] Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.[5]

Uma parábola possui um eixo único de simetria reflexiva, o qual passa através de seu foco e é perpendicular à diretriz. O ponto de interseção deste eixo com a parábola é chamado de vértice.[5] Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.

Parábola é uma curva gerada por todos os pontos que se situam igualmente distantes de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz).

Dedução das equações[editar | editar código-fonte]

Parábola com foco (F) e diretriz (L)

Em coordenadas cartesiana[editar | editar código-fonte]

Eixo vertical de simetria[editar | editar código-fonte]

Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com vértice V(h, k) e distância p entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é positivo, caso contrário p é negativo.

Como um ponto (x, y) na parábola dista do foco F(h, k+p) tanto quanto da reta diretriz r: y = k-p, podemos escrever:[5]

\sqrt{(x - h)^2 + (y - k - p)^2} = |y - k + p|

onde, |\cdot| denota a função valor absoluto. Lembrando que |x| = \sqrt{x^2} para qualquer x real, temos:(x - h)^2 + (y - k - p)^2 = (y - k + p)^2

(x - h)^2 = (y - k - p)^2 - (y - k + p)^2

(x - h)^2 = 4 p (y - k)

a qual é a equação padrão procurada.

Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:

y = ax^2 + bx + c

onde:

a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}.

Muitas vezes é útil descrever uma parábola via equações paramétricas. Tomando x = x(t), por exemplo x(t) = 2pt + h, e substituindo na equação padrão, obtemos y = y(t). Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:

\left\{ \begin{array}{ll} x(t) = 2pt + h\\ y(t) = pt^2 + k \end{array}\right. , \quad t\in\mathbb{R}.

Observamos que a parametrização de x, i.e. x = x(t), é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.

Eixo horizontal de simetria[editar | editar código-fonte]

Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice V(h,~k) e distância p entre o vértice e o foco tem equação padrão:

(y - k)^2 = 4p(x - h)

Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:

x = ay^2 + by + c

tomando:

a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h; h = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}.

Tomando y = y(t), y(t) = 2pt + k, e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:

\left\{\begin{array}{ll}x(t) = pt^2 + h \\ y(t) = 2pt + k\end{array}\right.,\quad \forall t\in\mathbb{R}

Em coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Esboço da parábola r(1 + \cos(\theta)) = 2a com a = 5/2.

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e reta diretriz x = -2a é dada pela equação[6] :

r = \frac{2a}{1 - \cos(\theta)}

De fato, tomando r = \sqrt{x^2 + y^2} e \cos(\theta) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} e substituindo na equação polar, obtemos:

y^2 = 4a(x + a)

que é a equação padrão da parábola de vértice V(-a,0) e reta diretriz x = -2a.

Forma em coordenadas gaussianas[editar | editar código-fonte]

A forma em coordenadas gaussianas é dada por:[carece de fontes?]

(\tan^2\phi,2\tan\phi)

e possui a normal (\cos\phi,\mathrm{sen}\,\phi).

Equação Quadrática[editar | editar código-fonte]

De forma geral, uma parábola é descrita por uma equação quadrática de coeficientes reais da forma:

ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0

com b^2 = ac e a+c \neq 0. A presença do termo cruzado xy (i.e., b \neq 0) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos x, y.

Esboço de uma parábola em posição não padrão. Aqui, \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 10, a rotação é dada poru = -\frac{\sqrt{10}}{10}x + \frac{3\sqrt{10}}{10}y e v = \frac{3\sqrt{10}}{10}x + \frac{\sqrt{10}}{10}y e a translação é dada por u' = u + 2 e v' = v - 1.

Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial[7] :

\mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}\mathbf{x} + f = 0

onde \mathbf{x} = \left[\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right] é o vetor real bidimensional das incógnitas,

A = \left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right]

é uma matriz real simétrica de autovalores reais \lambda_1 e \lambda_2, sendo exatamente um deles nulo,

\mathbf{b} = \left[d~~e\right]

é o vetor real bidimensional, e f é um escalar real.

Rotação[editar | editar código-fonte]

Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz A é ortogonalmente diagonalizável[7] , i.e.:

P^T A P = \left[\begin{array}{ll}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right]

onde P = \left[\mathbf{v}_1 ~~ \mathbf{v}_2 \right] é a matriz ortogonal, cujas colunas são autovetores \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 associados aos autovalores \lambda_1 e \lambda_2, respectivamente.

Fazendo a mudança de variável:

\mathbf{x} = P\mathbf{y},\quad\mathbf{y} = \left[\begin{array}{l}u\\v\end{array}\right],

podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis u, v como:

\mathbf{y}^T \left(P^T A P\right)\mathbf{y} + \left(\mathbf{b}P\right)\mathbf{y} + f = 0

a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo u, dado pelo autovetor \mathbf{v_1}, ou ao eixo v, dado pelo autovetor \mathbf{v}_2.

Translação[editar | editar código-fonte]

Uma parábola de vértice V(h,k) pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:

\mathbf{z} = \left[\begin{array}{l}u'\\ v'\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}u\\ v\end{array}\right] - P^T\left[\begin{array}{l}h\\ k\end{array}\right]

obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis u', v'.

Referências

  1. Affonso Rocha Giongo. Curso de Desenho Geométrico. [S.l.]: Nobel, 1974. Capítulo: Retificação da circunferência 78 p..
  2. Sítio de internet do curso Cálculo e Geometria Analítica da UFRGS - Cônicas Instituto de Matemática da UFRGS. Visitado em 24/10/2014.
  3. Parabola - from Wolfram MathWorld Wolfram Research, Inc.. Visitado em 24/10/2014.
  4. Boulos, Paulo; Camargo, Ivan de. Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial. 2. ed. São Paulo: McGrall-Hill, 1987. p. 266. ISBN 0074500465.
  5. a b c d Marcos Noé. Parábola (em português) R7 Brasil Escola. Visitado em 26 de dezembro de 2012.
  6. Reginaldo J. Santos (2001). Seções Cônicas. Visitado em 25/10/2014.
  7. a b KOLMAN, BERNARD. Álgebra Linear com Aplicações. 9. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622086.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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