Paraboloide

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Paraboloide de revolução

Em matemática, um paraboloide é uma superfície quádrica de tipo especial. Existem dois tipos de paraboloides: elípticas e hiperbólicas.

O paraboloide elíptico é moldado como um copo de forma oval e pode ter um ponto máximo ou mínimo. Em um sistema de coordenadas apropriado, com os três eixos x, y, e z, podem ser representados pela equação[1]


\frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}.

onde a e b são constantes que determinam o grau de curvatura nos planos x-z e y-z respectivamente. Este é um parabolóide elíptico, que abre para cima.

O paraboloide hiperbólico (não deve ser confundido com um hiperboloide) é uma superfície duplamente determinada em forma de sela. Em um sistema de coordenadas apropriado, um paraboloide hiperbólico pode ser representado pela equação[2]


\frac{z}{c} = \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}.

Por c>0, isto é um paraboloide hiperbólico que se abre para baixo ao longo do eixo X e ao longo do eixo dos y (ou seja, a parábola no plano x=0 é aberta para cima e a parábola no plano y=0 abre-se para baixo).

Paraboloide hiperbólico

Definição[editar | editar código-fonte]

Existem dois tipos de paraboloides: elíptico e hiperbólico. O paraboloide elíptico possui um formato semelhante a uma taça e pode possuir um ponto máximo ou mínimo. O paraboloide hiperbólico possui um formato semelhante a uma sela e pode possuir um ponto crítico chamado de ponto de sela. Esta é uma superfície com regras duplas.

Com a = b um paraboloide elíptico é um paraboloide de revolução: uma superfície obtida através da rotação de uma parábola ao redor de seu eixo. Este é o formato do refletor parabólico utilizado nos espelhos, antenas e objetos semelhantes. Esta superfície é também chamada de paraboloide circular.

Uma fonte de luz posicionada no ponto focal desta superfície produz um raio de luz paralelo. Isto também funciona da maneira inversa: um feixe de luz com raios paralelos incidente no paraboloide é concentrado no ponto focal. Isto também se aplica a outras ondas, como nas antenas parabólicas.

Um exemplo do quotidiano de um paraboloide hiperbólico é o formado de uma batata Pringles. O paraboloide hiperbólico é uma superfície duplamente regrada, ou seja, por cada ponto da superfície passam duas retas totalmente contidas na superfície.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Thomas, George B.; Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordiano. Thomas' Calculus 11th ed. (em inglês). [S.l.]: Pearson Education, Inc, 2005. p. 892. ISBN 0-321-18558-7.
  2. Thomas, George B.; Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordiano. Thomas' Calculus 11th ed. (em inglês). [S.l.]: Pearson Education, Inc, 2005. p. 896. ISBN 0-321-18558-7.