Paradoxo de Banach–Tarski

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O "paradoxo" de Banach–Tarski: Uma esfera pode ser decomposta e recomposta em duas esferas cada uma do mesmo tamanho da original.

O teorema de Banach–Tarski estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições.

O teorema pode ser generalizado para quaisquer regiões do espaço que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente:

Sejam X e Y dois subconjuntos de \mathbb{R}^3\, que são limitados e cujo interior não é vazio. Então é possível decompor X e Y em partições finitas {X1, X2, ... Xn} e {Y1, Y2 ... Yn}, tal que cada Xi é congruente a cada Yi[1]

Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha.

Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evidência para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matemáticos apenas consideram que o axioma da escolha tem conseqüências bizarras e contra-intuitivas.

Esboço da demonstração[editar | editar código-fonte]

A demonstração se baseia na construção de duas matrizes 3x3. Uma destas matrizes, ψ é uma rotação de 120o em torno do eixo z, e a outra matriz, φ, corresponde à reflexão sobre o plano xz seguida de uma rotação de um ângulo θ em torno do eixo y. A primeira matriz ψ é tal que seu cubo é a matriz identidade, e a segunda é tal que seu quadrado é a identidade. Assim, cada elemento do grupo gerado por estas duas matrizes pode ser escrito como uma sequência finita de produtos da segunda matriz pela primeira matriz (ψ) ou pelo quadrado da primeira matriz (φ2).[1] Caso o ângulo θ seja tal que seu cosseno seja um número transcendente, então a representação de cada elemento deste grupo é única.[2]

Este grupo de matrizes G pode ser decomposto em três conjuntos, G1, G2 e G3, com a propriedade que g é um elemento de G1 se, e somente se, ψ g é um elemento de G2 e ψ2 g é um elemento de G3. Estes conjuntos, que são compostos de rotações e reflexões, portanto transformam um conjunto de pontos em outro conjunto congruente, são usados para decompor uma esfera em uma partição {P, S1, S2, S3}, em que P é um conjunto enumerável e as outras parcelas se relacionam através da rotação φ e da matriz φ:[2]

\phi(S_1) = S_2 \cup S_3\,
\psi(S_1) = S_2\,
\psi^2(S_1) = S_3\,

Esta decomposição faz-se definindo-se classes de equivalência entre os elementos da esfera (excluindo o conjunto enumerável P) como x ~ y quando existe algum elemento g do grupo de matrizes tal que g(x) = y, e escolhendo-se o conjunto C com um elemento de cada classe de equivalência. Este passo requer uso do axioma da escolha. Cada conjunto Si é obtido a partir de C através de elementos dos conjuntos de matrizes Gi, ou seja, S_i = G_i(C)\,[3]

Referências

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