Paradoxo de Russell
O paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da aritmética[1] pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado por uma carta a Frege de 1902[2]. Frege publicou o paradoxo no segundo volume de seu livro em 1903, num postfácio[3], mas Russell o publicou antes[4] no seu livro Princípios das Matemáticas[5]. Parece ter sido descoberta independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao círculo de Hilbert[6]. Posteriormente, foi publicado no clássico Principia Mathematica e em muitos outro lugares.
Considere-se o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios como membros". Formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.
No sistema de Cantor, M é um conjunto bem definido. Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição. Por outro lado, supondo que M não se contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.
No sistema de Frege, M corresponde ao conceito não recai no conceito da sua definição. O sistema de Frege também conduz a contradições: de que há uma classe definida por este conceito, que recai no conceito da sua definição apenas no caso de não recair.
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[editar] Aplicações
O paradoxo do barbeiro, semelhante na formulação ao de Russell, foi utilizado por Kurt Gödel para provar o seu teorema da incompletude. Alan Turing provou a indecidibilidade do problema da parada usando o mesmo paradoxo.
Como outro tipo de exemplo, considere as seguintes listas de artigos de uma enciclopédia:
| Lista de artigos sobre pessoas: | Lista de artigos iniciando com a letra L:
...
... |
Lista de artigos sobre lugares: | Lista de artigos sobre o Brasil: | Lista de todas as listas que NÃO contém si mesmas:
...
...
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Note que se a "Lista de todas as listas que NÃO contém si mesmas" contém si mesma, então ela não deveria pertencer a esta lista e, portanto, tem de ser removida. Por outro lado, se ela não contém si mesma, então ela tem de ser adicionada à lista.
[editar] Bibliografia
- FREGE, Gottlob. Grundgesetze der Arithmetik (em alemão). Jena: Hermann Pohle, 1893−1903.
- FRAENKEL, Abraham A.; BAR-HILLEL, Yehoshua. Foundations of Set Theory (em inglês). Amsterdam: North Holland (Elsevier), 1958.
- HEIJENOORT, Jean van. From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967.
- RUSSELL, Bertrand. The Principles of Mathematics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press, 1903.
Referências
- ↑ FREGE (1893−1903).
- ↑ HEIJENOORT (1967), p. 124−125.
- ↑ FREGE (1893−1903), p. 253−265
- ↑ HEIJENOORT (1967), p. 124.
- ↑ RUSSELL (1903), p. 101−107.
- ↑ FRAENKEL BAR-HILLEL (1958), p. 6.
