Paradoxo de Russell

O paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da aritmética pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado por uma carta a Frege de 1902 . Frege publicou o paradoxo no segundo volume de seu livro em 1903, num postfácio , mas Russell o publicou antes no seu livro Princípios das Matemáticas . Parece ter sido descoberta independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao círculo de Hilbert . Posteriormente, foi publicado no clássico Principia Mathematica e em muitos outro lugares.

Formulação matemática

Considere-se o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios como membros". Formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.

$M=\{A\mid A\not\in A\}$

No sistema de Cantor, M é um conjunto bem definido. Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição. Por outro lado, supondo que M não se contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.

No sistema de Frege, M corresponde ao conceito não recai no conceito da sua definição. O sistema de Frege também conduz a contradições: de que há uma classe definida por este conceito, que recai no conceito da sua definição apenas no caso de não recair.

Aplicações

O paradoxo do barbeiro, semelhante na formulação ao de Russell, foi utilizado por Kurt Gödel para provar o seu teorema da incompletude. Alan Turing provou a indecidibilidade do problema da parada usando o mesmo paradoxo.

Bibliografia

• FREGE, Gottlob. Grundgesetze der Arithmetik (em alemão). Jena: Hermann Pohle, 1893−1903.

• FRAENKEL, Abraham A.; BAR-HILLEL, Yehoshua. Foundations of Set Theory (em inglês). Amsterdam: North Holland (Elsevier), 1958.

• HEIJENOORT, Jean van. From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967.

• RUSSELL, Bertrand. The Principles of Mathematics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press, 1903.

Ver também

• Paradoxo
• Teoria dos conjuntos