Paradoxo de Russell

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O Paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da aritmética[1] pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado por uma carta a Frege de 1902[2] . Frege publicou o paradoxo no segundo volume de seu livro em 1903, num postfácio[3] , mas Russell o publicou antes[4] no seu livro Princípios das Matemáticas[5] . Parece ter sido descoberta independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao círculo de Hilbert[6] . Posteriormente, foi publicado no clássico Principia Mathematica e em muitos outro lugares.

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

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Considere-se o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios como membros". Formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.

M=\{A\mid A\not\in A\}

No sistema de Cantor, M é um conjunto bem definido. Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição. Por outro lado, supondo que M não se contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.

No sistema de Frege, M corresponde ao conceito não recai no conceito da sua definição. O sistema de Frege também conduz a contradições: de que há uma classe definida por este conceito, que recai no conceito da sua definição apenas no caso de não recair.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O paradoxo do barbeiro, semelhante na formulação ao de Russell, foi utilizado por Kurt Gödel para provar o seu teorema da incompletude. Alan Turing provou a indecidibilidade do problema da parada usando o mesmo paradoxo.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • FRAENKEL, Abraham A.; BAR-HILLEL, Yehoshua. Foundations of Set Theory (em inglês). Amsterdam: North Holland (Elsevier), 1958.
  • HEIJENOORT, Jean van. From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967.
  • RUSSELL, Bertrand. The Principles of Mathematics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press, 1903.

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]


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