Paradoxo do quadrado perdido

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O enigma do quadrado perdido.
O enigma em animação.
Sobreposição dos dois pseudo-triângulos

O paradoxo do quadrado perdido é um enigma resultado de uma ilusão de óptica, em que são vistos dois triângulos, formados pelas mesmas peças, onde porém um triângulo aparenta ter um pequeno quadrado a menos do que o outro. A suposta hipotenusa de cada figura não é reta (apesar de parecer).

De acordo com Martin Gardner, esse enigma foi elaborado em 1953 pelo mágico amador Paul Curry, de Nova Iorque. O enigma do quadrado perdido é por isso também chamado de paradoxo de Curry (embora exista o paradoxo de Curry de teoria ingênua dos conjuntos). O princípio por trás desse tipo de paradoxo é conhecido desde pelo menos 1860.

Explicação[editar | editar código-fonte]

Descrição[editar | editar código-fonte]

Os dois triângulos formados por peças coloridas parecem ter a mesma área de 13\cdot5\cdot\frac{1}{2}.

As peças de cada triângulo formado por peças:

  • Um triângulo (aqui azul) com área de
    5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ =\ 5\ \mathrm{cm^2}
  • Outro triângulo (aqui vermelho) com área de
    8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ =\ 12\ \mathrm{cm^2}
  • Duas outras figuras (aqui, uma amarela e a outra verde), que juntas tem o tamanho de um retângulo
    5\cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 15\ \mathrm{cm^2}
    área que é a soma de
    1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 2\ \mathrm{cm^2}\ =\ 7\ \mathrm{cm^2} da figura amarela
    1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 8\ \mathrm{cm^2} da figura verde

Embora ambos sejam visualmente triângulos de mesmo tamanho com sub-áreas idênticas, no segundo triângulo há um quadrado de área 1 \times 1\ \mathrm{cm^2} restando.

Solução[editar | editar código-fonte]

A soma das áreas das peças resulta em uma área de 5\ \mathrm{cm^2}+12\ \mathrm{cm^2}+7\ \mathrm{cm^2}+8\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32\ \mathrm{cm^2}

No entanto, um triângulo com lados 13 e 5 deve ter uma área de 13\cdot5\cdot\frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32,5\mathrm{cm^2}.
Assim, está dada a prova matemática de que o dado triângulo não pode ser formado por essas peças.

O paradoxo se deve a diferença entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho (eles não são triângulos similares). Portanto, a hipotenusa não é uma reta. Matematicamente, isso pode ser provado da seguinte maneira:

  • Triângulo azul:
    \arctan\left(\frac{2}{5}\right)=\arctan\left(0,4\right)=21,8\,^{\circ}
  • Triângulo vermelho:
    \arctan\left(\frac{3}{8}\right)=\arctan\left(0,375\right)=20,56\,^{\circ}
  • Ângulo de um triângulo com catetos 13 e 5:
    \arctan\left(\frac{5}{13}\right)=\arctan\left(0,385\right)=21,04\,^{\circ}

Disso percebe-se que o lado de cima não é uma linha reta. Portanto, a figura composta não é realmente um triângulo, mas sim um quadrilátero.

Seqüência de Fibonacci[editar | editar código-fonte]

Figuras enganosas como essa podem também ser formadas com outras proporções. As dimensões inteiras dos lados das figuras de cima: 2, 3, 5, 8 e 13; são cinco números consecutivos da sequência de Fibonacci. Muitas outras figuras, que apresentam o mesmo fenômeno, também são feitas com outros números consecutivos na sequência de Fibonacci.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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