Paridade put-call

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Em matemática financeira, a paridade put–call define uma relação entre o preço de uma opção de compra (call) e uma opção de venda (put) européias — ambas com o mesmo preço de exercício e vencimento, cujo ativo subjacente é suficientemente líquido, na ausência de oportunidades de arbitragem. Na ausência de liquidez, é suficiente a existência de um contrato futuro. A paridade put-call é verificada na presença de suposições mínimas, menos restritivas do que as requeridas pelo teorema Black-Scholes e outros modelos financeiros comumente usados.

Derivação[editar | editar código-fonte]

Faremos as opções são sobre ações bastante negociadas, mas a paridade pode ser demonstrada para qualquer ativo subjacente negociável. A possibilidade de compra e venda a qualquer instante é crucial para o argumento de “não-arbitragem” abaixo.

Primeiramente note que supondo a ausência de oportunidades de arbitragem, dois portfolios que sempre geram o mesmo payoff em um instante T devem ter o mesmo valor em qualquer instante intermediário. Para provar, suponhas que em algum instante de tempo t antes de T, um portfolio esteja mais barato que o outro. Então alguém poderia comprar (ficar em posição comprada) o portfolio mais barato e vender (posição vendida) o mais caro. Em T, nosso portfolio global, composto pela soma dos dois portfolios, para qualquer preço da ação subjacente, teria valor zero. E o lucro obtido em t é, portanto, um lucro livre de risco, mas isso viola a suposição de não-arbitragem.

Derivaremos a paridade put-call criando dois portfolios com o mesmo payoff e invocando o princípio acima.

Considere uma opção de compra e de venda com o mesmo exercício K com vencimento para a mesma data T sobre alguma ação S, que não paga dividendo. Assumimos a existência de um título que pague um dólar na data do seu vencimento em T. O preço do título pode ser aleatório (como o da ação) mas deve ser igual a 1 no vencimento.

Seja o preço de S na data t: S(t). Agora monte um portfolio comprando uma call C e vendendo uma put P com o mesmo vencimento T e preço de exercício K. O payoff por esse portfolio S(T) - K. Agora monte um Segundo portfolio comprando uma ação e tomando emprestado K títulos. Note que o payoff do Segundo portfolio também é dado por S(T) - K na data T, uma vez que a ação comprada por S(t) valerá S(T) e os títulos tomados emprestado valerão K.

Observando que payoffs idênticos implica que ambos portfolios devem ter o mesmo preço em qualquer instante t, a seguinte relação existe entre o valos dos vários instrumentos:


 C(t) - P(t) = S(t)- K \cdot B(t,T) \,

em que

C(t)é o valor da call no instante t,
P(t) é o valor da put,
S(t) é o valor da ação,
K é o preço de exercício, e
B(t,T) o valor do título com vencimento em T. Se uma ação paga dividendos, eles devem ser inclusos em B(t,T), porque preços de opções tipicamente não são ajustados para dividendos ordinários.

Note que o lado direito da equação também representa o preço de se comprar um contrato a termo sobre a ação com preço de entrega K. Assim, uma forma de se ler a equação é que o portfolio composto por uma posição comprada numa call e vendida numa put é o mesmo que estar comprado num contrato a termo. Em particular, se o ativo subjacente não for negociável mas existirem contratos a termo sobre ele, podemos substituir o lado direito da equação pelo preço do contrato a termo.

Se a taxa de juros do título, r, for mantida constante, então

 B(t,T) = e^{-r(T-t)} \,
.

Assim, não havendo oportunidades de arbitragem, a relação acima – paridade put-call – se mantém, para quaisquer três preços dados, podemos calcular o preço do quarto. Note: r se refere à “força dos juros”, que é aproximadamente igual taxa anual afetiva para taxas pequenas. No entanto, é preciso cuidado com essa aproximação, especialmente para taxas e períodos maiores. Para determinar r, use r = ln (1+i) , em que i é a taxa efetiva anual.

No apreçamento de opções européias sobre ações que paguem dividendos conhecidos que serão pagos ao longo da “vida” da opção, a fórmula passa a ser:

 C(t) - P(t) + D(t) = S(t) - K \cdot B(t,T)\,

em que D(t) representa o valor total dos dividendos de uma ação a serem pagos ao longo do restante da “vida” das opções, trazidos a valor presente. Essa fórmula pode ser derivada de maneira similar a da fórmula acima, com a modificação que um portfolio consiste em ficar numa posição comprada na call e vendida na put, e D(T) títulos em que cada um paga 1 dólar no vencimento T (o título valerá D(t) em t); o outro portfolio é o mesmo – comprado numa ação e vendido em K títulos que pagam cada um 1 dólar em T. A diferença é que em T, a ação não apenas valerá S(T) mas terá pago D(T) em dividendos.

Podemos reescrever a equação como:

 C(t) - P(t) = S(t) - K \cdot B(t,T)\ - D(t),

Note que o lado direito da equação é o preço de um contrato a termo sobre a ação com preço de entrega K, como antes.

Há ainda outra maneira de se pensar – e escrever – a relação básica entre puts e calls:

 C(t) + K \cdot B(t,T) = P(t) + S(t) \,

Ambos os lados tem payoff dado por max(S(T), K) em um dado T, então isso fornece outra forma de outra forma de provar a paridade put-call. O lado direito é o valor de um portfolio, uma put de proteção, que é uma posição comprada numa put e numa ação. O lado esquerdo é o valor de uma call fiduciária, que é uma posição comprada numa call e títulos suficientes para comprar ações em T se a call for exercida.

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