Partícula em uma caixa

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Ambox rewrite.svg
Esta página precisa ser reciclada de acordo com o livro de estilo (desde Julho de 2008).
Sinta-se livre para editá-la para que esta possa atingir um nível de qualidade superior.
Função de onda para uma partícula encerrada em uma caixa bidimensional, as linhas de nível sobre o plano inferior estão relacionadas com a probabilidade de presença.

Em física, a partícula em uma caixa (também conhecida como poço de potencial infinito) é um problema muito simples que consiste de uma só partícula que rebate-se dentro de uma caixa imóvel da qual não pode escapar, e onde não perde energia ao colidir contra suas paredes.

Em mecânica clássica, a solução ao problema é trivial: a partícula se move em uma línha reta a uma velocidade constante até que rebate em uma das paredes. Ao rebater, a velocidade é alterada apenas na componente perpendicular à parede, que troca de sinal; o módulo da velocidade não se altera. Uma das soluções possíveis é uma partícula absolutamente estacionária, ou seja, com velocidade zero.

O problema se torna muito interessante quando se tenta resolver dentro da mecânica quântica, já que é necessário introduzir muitos dos conceitos importantes desta disciplina para encontrar uma solução. Entretanto, ainda assim é um problema simples com uma solução definida. Este artígo se concentra na solução dentro da mecânica quântica.

Descrição quântica do problema[editar | editar código-fonte]

O problema pode apresentar-se em qualquer número de dimensões, mas o mais simples é o problema unidimensional, ainda que o mais útil é o que se centra em uma caixa tridimensional. Em uma dimensão, se representa por uma partícula que existe em um segmento de uma linha, sendo as paredes os pontos finais do segmento.

Em termos da física, a partícula em uma caixa se define como uma partícula pontual, encerrada em uma caixa onde não experimenta nenhum tipo de força (ou seja, sua energia potencial é constante, ainda que sem perda de generalidade podemos considerar que vale zero). Nas paredes da caixa, o potencial aumenta até um valor infinito, fazendo-a impenetrável. Usando esta descrição em termos de potenciais nos permite usar a equação de Schrödinger para determinar uma solução.

Esquema do potencial para a caixa unidimensional.

Como se menciona acima, se estivéssemos estudando o problema sob as regras da mecânica clássica, deveríamos aplicar as leis do movimento de Newton às condições iniciais, e o resultado seria razoável e intuitivo. Em mecânica quântica, quando se aplica a equação de Schrödinger, os resultados não são intuitivos. Em primeiro lugar, a partícula só pode ter certos níveis de energia específicos, e o nível zero não é um deles. Em segundo lugar, as probabilidades de detectar a partícula dentro da caixa em cada nível específico de energia não são uniformes - existem várias posições dentro da caixa onde a partícula pode ser encontrada, mas também há posições onde é impossível fazê-lo. Ambos resultados diferem da maneira usual na que percebemos o mundo, inclusive se estão fundamentados por princípios extensivamente verificados através de experimentos.

Caixa monodimensional[editar | editar código-fonte]

A versão mais precisa se dá na situação idealizada de uma "caixa monodimensional", na que a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários é necessário aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema:


-\cfrac{\hbar^2}{2m} \cfrac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} = E \psi(x) [1]

Considerando que o potencial é zero dentro da caixa e infinito fora, e observando que a função de onde se anula fora da caixa, temos as seguintes condições de contorno:

 0 <x < L

\begin{cases}
\psi(0)=0 \\
\psi(L)=0
\end{cases}
[1a]

e onde

\hbar é a Constante reduzida de Planck,
m \, é a massa da partícula,
\psi\left(x\right)\, é a função de onda estacionária independente do tempo[1] que queremos obter (autofunções) e
E\, é a energia da partícula (autovalor).

As autofunções e autovalores de uma partícula de massa m em uma caixa monodimensional de comprimento L são:

\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)}, \qquad
E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} n^2 = \frac{h^2}{8 m L^2} n^2, \qquad \mbox{con}\ n=1, 2, 3, ... [1b]
Níveis de energia (linhas discontínuas) e funções de onda (linhas contínuas) da partícula em uma caixa monodimensional.

Note-se que só são possíveis os níveis de energia "quantizados". Além disso, como n não pode ser zero (ver mais adiante), o menor valor da energia tampouco pode sê-lo. Esta energia mínima se chama energia do ponto zero e se justifica em termos do princípio de incerteza. Devido a que a partícula se encontra restringida a mover-se em uma região finita, a variância da posição tem um limite superior (o comprimento da caixa, L). Assim, de acordo com o princípio de incerteza, a variância do momento da partícula não pode ser zero e, portanto, a partícula deve ter uma certa quantidade de energia que aumenta quando a longitude da caixa L diminui.

Dedução[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

  1. Para obter a função de onda dependente do tempo, ver estado estacionário, onde se mostra um exemplo para o estado fundamental da partícula em uma caixa monodimensional.
  • Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.


Translation Latin Alphabet.svg
Este artigo ou secção está a ser traduzido. Ajude e colabore com a tradução.