Partição da unidade

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Em matemática, uma partição da unidade em um espaço topológico X é uma família de funções contínuas \{\rho_i\}_{i\in I}: X \to \left[ 0 , 1 \right]\, de forma que, para cada ponto x\in X:

  • existe uma vizinhança de x em que todas, exceto uma quantidade finita, das funções são identicamente zero.
  • a soma das funções em x é 1, ou seja

\;\sum_{i\in I} \rho_i(x) = 1.

Partição da unidade subordinada a uma cobertura[editar | editar código-fonte]

Dada uma cobertura do espaço topológico X por abertos X \subseteq \bigcup_{i\in I} A_{i}\,, uma partição da unidade subordinada a cobertura {Ai} é uma partição da unidade \{\rho_i\}_{i\in I}: X \to \left[ 0 , 1 \right]\, em que para todo x existe um i tal que o suporte da função ρi está contido no aberto Ai.

Construção[editar | editar código-fonte]

Muitas vezes desejam-se propriedades adicionais para a partição da unidade, por exemplo, pode-se exigir que elas sejam infinitamente diferenciáveis - o que contradiz a intuição de que uma função que se anula em uma região e seja infinitamente diferenciável possa ter valores não-nulos fora dela. Uma ferramenta para construí-las se baseia na função exp(-1/x).

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