Pentadecágono

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Um pentadecágono regular

Em geometria, um pentadecágono é um polígono que tem 15 lados. Um pentadecágono regular possui a soma dos ângulos interiores igual a 2340 graus e cada ângulo tem 156 graus e, tendo a como a medida do seu lado, a sua área pode ser dada pela seguinte fórmula:

A=\frac{15}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{15} = \frac{15a^2}{8} \left( \sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10+2\sqrt{5}} \right) \simeq 17.6424a^2.


Construção de um pentadecágono[editar | editar código-fonte]

Um pentadecágono regular é construtível usando o método de régua e compasso.A figura seguinte é uma adaptação do método dado em Os elementos, de Euclides, livro IV, proposição 6.

Animação da construção de um pentadecágono


Medida do ângulo interno,ângulo externo e central, soma dos ângulos internos e diagonais[editar | editar código-fonte]

  • Medida do ângulo interno:

ai =\,\!\frac {n -\ 2 .\ 180}{15}

Então:

ai =\,\!\frac {15 -\ 2 .\ 180}{15}

Logo:

ai =\,\!\frac {13 .\ 180}{15}

Então:

ai =\,\!\frac {2340}{15} = 156

Daí conclui-se que a medida do ângulo interno de um pentadecágono regular é 156.

  • Medida do ângulo externo:

ae =\,\!\frac {Se}{n}

Então:

ae =\,\!\frac {360}{15} = 24

Daí conclui-se que a medida do um ângulo externo de um pentadecágono regular é 24.

  • Medida do ângulo central:

ac =\,\!\frac {360}{n}

Então:

ac =\,\!\frac {360}{15} = 24

Daí conclui-se que a medida do ângulo central de um pentadecágono regular é 24.

  • Número de diagonais:

d =\,\!\frac {n .\ n -\ 3}{2}

Logo:

d =\,\!\frac {15 .\ 15 -\ 3}{2}

Então:

d =\,\!\frac {15 .\ 12}{2}

Logo:

d =\,\!\frac {180}{2} = 90

Daí conclui-se que o número de diagonais encontradas em um pentadecágono regular é 90.

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