Pente de Dirac

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Gráfico de comb(x/τ). A função é par e tem período τ.

Em matemática, o Pente de Dirac é uma distribuição (ou função generalizada) obtida a partir do Delta de Dirac. Em engenharia elétrica, também recebe os nomes de função sha ( ou shah), trem de impulsos e função de amostragem. É definida da maneira seguinte, como um conjunto infinito de impulsos unitários, espaçados de uma unidade:


comb(x) \;=\; \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} \delta(x \;-\; k) \;\;\;\;\; (1)


onde δ(x) é o Delta de Dirac e k é um número inteiro.

Alguns autores usam para denotá-la o símbolo Ш (letra cirílica sha), por brevidade. Esse símbolo alude, evidentemente, à forma do seu gráfico em coordenadas cartesianas (ver figura ao lado).

A distribuição é periódica com período = 1. Pode-se definir a distribuição de uma forma mais genérica, com período τ, da maneira seguinte:


comb \left( \frac{x}{\tau} \right) \;=\; |\tau| \cdot \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} \delta \left( x \;-\; \frac{k}{\tau} \right) \;\;\;\;\; (2)[1] .


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedades elementares[editar | editar código-fonte]

Algumas propriedades são evidentes, a partir da definição[1] :


comb(-x) \;=\; comb(x) \;\;\;\;\; (3a)


comb(x \;+\; n) \;=\; comb(x) \;|\;n \; \in \; \mathbb{Z} \;\;\;\;\; (3b)


comb \left( x \;-\; \frac{1}{2} \right) \;=\; comb \left( x \;+\; \frac{1}{2} \right) \;\;\;\;\; (3c)


\int_{n \;-\; \frac{1}{2}}^{n \;+\; \frac{1}{2}} comb(x) \; dx \;=\; 1  \;|\; n \; \in \; \mathbb{Z}\;\;\;\;\; (3d)


comb(x) \;=\; 0 \;|\; x \; \not\in \; \mathbb{Z} \;\;\;\;\; (3e)


Amostragem[editar | editar código-fonte]

O Pente de Dirac exibe a propriedade de, para qualquer função f(x),


comb(x) \cdot f(x) \;=\; f(k) \;=\; \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} f(k) \cdot \delta(x \;-\; k) \;\;\;\;\; (3f)


A propriedade dada por (3f) é o que torna o Pente de Dirac importante na Teoria da Amostragem. A multiplicação de comb(x) a uma função qualquer f(x) resulta numa sequência f(k) que espelha os valores originais em pontos específicos e anula o resto. Daí decorre que


\int_{-\infty}^{\infty} comb(x) \cdot f(x) \; dx \;=\; \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} f(k) \;\;\;\;\; (3g)


Outra propriedade útil está relacionada à convolução:


comb(x) \;*\; f(x) \;=\; \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} f(x \;-\; k) \;\;\;\;\; (3h)


A convolução com o Pente de Dirac gera uma sequência em que os valores de f(x) em determinados instantes são replicados periodicamente. Se f(x) ≠ 0 para |x| > 1, haverá superposição entre os valores mas, no caso de f(x) ≠ 0 apenas para |x| < 1, a sequência resultante será periódica com período igual a uma unidade.[1]

Transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

O Pente de Dirac exibe a propriedade de invariância em relação ao operador Transformada de Fourier:


\mathcal{F} \{ comb(x) \} \;=\; comb(f) \;=\; \sum_{k \;=\; -\infty}^{\infty} e^{-i \cdot 2 \pi f \cdot k} \;=\; \sum_{k \;=\; -\infty}^{\infty} \delta(f \;-\; k) \;\;\;\;\; (3i)[2] [3] [nota 1] [nota 2]


(a definição do Delta de Dirac no domínio da frequência é δ(f) = e-i·2πf).

Extensão para espaços com mais dimensões[editar | editar código-fonte]

As expressões (1) e (2) definem o Pente de Dirac em um espaço euclideano bidimensional, isto é, com uma variável independente x. Essas definições podem ser generalizadas facilmente de modo a contemplar espaços com mais dimensões. A expressão


\left. ^2 \right. comb(x,y) \;=\; \sum_{j \;=\; - \infty}^{\infty} \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} \left. ^2 \right.  \delta(x \;-\; j,y \;-\; k) \;\;\;\;\; (4)


define o Pente de Dirac com duas variáveis independentes x e y, uma distribuição conhecida como cama de pregos (ing. "bed of nails"). 2δ(x,y)[nota 3] é a generalização do Delta de Dirac para duas variáveis independentes x e y: 2δ(x,y) = δ(x)·δ(y). Da mesma forma,


\left. ^3 \right.  comb(x,y,z) \;=\; \sum_{j \;=\; - \infty}^{\infty} \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} \sum_{l \;=\; - \infty}^{\infty} \left. ^3 \right.  \delta(x \;-\; j,y \;-\; k,z \;-\; l) \;\;\;\;\; (5)


define o Pente de Dirac para três variáveis independentes x, y e z. Expressões similares podem ser escritas para dimensões superiores[1] .

Equivalentes multidimensionais da expressão (2) seguem a forma seguinte:


\left. ^2 \right. comb \left( \frac{x}{\tau_x},\frac{y}{\tau_y} \right) \;=\; |\tau_x \cdot \tau_y| \cdot  \sum_{j \;=\; - \infty}^{\infty} \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} \left. ^2 \right. \delta \left( x \;-\; \frac{j}{\tau_x} , y \;-\; \frac{k}{\tau_y} \right) \;\;\;\;\; (6a)


\left. ^3 \right. comb \left( \frac{x}{\tau_x},\frac{y}{\tau_y},\frac{z}{\tau_z} \right) \;=\; |\tau_x \cdot \tau_y \cdot \tau_z| \cdot  \sum_{j \;=\; - \infty}^{\infty} \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} \sum_{l \;=\; - \infty}^{\infty} \left. ^3 \right. \delta \left( x \;-\; \frac{j}{\tau} , y \;-\; \frac{k}{\tau_y} , z \;-\; \frac{l}{\tau_z} \right) \;\;\;\;\; (6b)


Propriedades[editar | editar código-fonte]

A distribuição 2comb(x,y) exibe as seguintes propriedades notáveis:


\left. ^2 \right.  comb(x,y) \;=\; comb(x) \cdot comb(y)  \;\;\;\;\; (7a)


\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \cdot \left. ^2 \right.  comb(x,y) \; dx \; dy \;=\; \sum_{j \;=\; - \infty}^{\infty}\sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} f(j,k) \;\;\;\;\; (7b)


\left. ^2 \right.  comb(x \;+\; m,y \;+\; n) \;=\; \left. ^2 \right.  comb(x,y)  \;|\; m,n \; \in \; \mathbb{Z}\;\;\;\;\; (7c)


f(x,y) \cdot \left. ^2 \right.  comb(x,y) \;=\; \sum_{j \;=\; - \infty}^{\infty}\sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} f(j,k) \cdot \left. ^2 \right. \delta(x \;-\; j,y \;-\; k) \;\;\;\;\; (7d)[1]


e, inclusive com relação à transformação de Fourier:


\left. ^2 \right. \mathcal{F} \{ \left. ^2 \right. comb(x,y) \} \;=\; \left. ^2 \right. comb(x,y) \;\;\;\;\; (7e)[2]


As propriedades (7b), (7c), (7d) e (7e) são extensões multidimensionais das propriedades (3g), (3b), (3f) e (3i), respectivamente.

Propriedades semelhantes podem ser deduzidas para pentes de ordem maior.


Outras funções importantes em espaços multidimensionais[editar | editar código-fonte]

Em um espaço com duas variáveis independentes, a distribuição comb(x) denota uma grade composta por planos paralelos ao eixo Y, e comb(y), uma grade com planos paralelos ao eixo X. comb(x)·δ(y) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo X, e comb(y)·δ(x) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo Y. Ainda mais interessante é a seguinte propriedade:

\left. ^2 \right. \mathcal{F} \{ comb(x) \} \;=\; comb(x) \cdot \delta(y) \;\;\;\;\; (7f)

\left. ^2 \right. \mathcal{F} \{ comb(x) \cdot \delta(y) \} \;=\; comb(x) \;\;\;\;\; (7g)[1]

Pente geométrico de Dirac[editar | editar código-fonte]

Em algumas aplicações, é conveniente definir o pente geométrico de Dirac

\Delta_a^r (\nu) \;=\; \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} a^{-kr} \cdot \delta(\nu \;-\; a^k) \;=\; \sum_{k \;=\; - \infty}^{\infty} a^{kr} \cdot \delta(\nu \;-\; a^{-k}) \qquad |\; a \in \mathcal{R} ,\; a \;>\; 0 \qquad (8a)

O nome deve-se ao fato de os valores da função formarem uma progressão geométrica com razão a; o pente de Dirac "comum" recebe às vezes o nome de pente aritmético de Dirac para evitar confusões[4] .


Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Algumas outras poucas funções exibem essa propriedade. Um exemplo é f(x) = sech(x).
  2. Essa propriedade depende de qual foi a convenção usada para definir a transformada de Fourier, uma vez que não há consenso quanto a isso na literatura. Algumas definições podem provocar a inserção de fatores de escalamento.
  3. Não confundir com δ2(x), que denota a derivada de δ(x).


Referências

  1. a b c d e f Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 5, pp. 74-104, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
  2. a b Bracewell, R. - op. cit., cap. 6, pp. 105 a 135
  3. Wang Ruye - Fourier transform of typical signals, disponível em http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/handout3/node3.html, acessado em 29/09/2012
  4. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - The Mellin Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 11, pp. 989 a 990