Sistema de coordenadas cartesiano

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Coordenadas cartesianas de alguns pontos do plano.

Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.[1]

A ideia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de Descartes:

  • Discurso sobre o método
    • Na segunda parte, Descartes apresenta a ideia de especificar a posição de um ponto ou objecto numa superfície, usando dois eixos que se intersectam.
  • La Géométrie
    • onde desenvolve o conceito que apenas tinha sido referido na obra anterior.

Um sistema de referência consiste em um ponto de origem, direção e sentido, isto pode ser obtido de diversas formas, como já tivemos oportunidade de estudar anteriormente, porém, o sistema de coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos permite observar as formas da maneira mais aproximada possível do nosso modo de ver o universo.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de partida, ao qual chamamos de origem, ao passo que temos dois lados para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada ponto sobre a reta tem uma distância da origem, à qual chamamos amplitude, ou módulo... desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos mais uma reta na origem, formando um ângulo reto com a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a origem do sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três dimensões.[2]

A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que os sentidos: Para frente, para a direita e para cima são positivos e os seus opostos são negativos.

Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, ao qual chamamos de origem e que também marca uma distinção angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, (x,y,z) \,\!, que representam as três direções do sistema.

Localização de pontos[editar | editar código-fonte]

Coordenadas cartesianas

Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo z \,\!, o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo x \,\!, enquanto que o último, na diagonal, correspondente à profundidade, é chamado de eixo y \,\!, cada segmento de eixo partindo da orígem gera um octante, visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem.

A tripla ordenada no formato (x,y,z) \,\!, corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma:

Se desejarmos encontrar o ponto (3,0,5) \,\! localizamos o valor 3 no eixo x \,\!, depois o zero no eixo y \,\!, estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo x \,\!, depois localizamos o valor 5 no eixo z \,\! e traçamos uma subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo z \,\! na direção da subreta está o ponto.

Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto (-5,-5,7) \,\! localizamos o valor -5 no eixo x \,\!, depois o -5 no eixo y \,\!, estes dois valores determinam um plano sobre os eixos x \,\! e y \,\!, depois localizamos o valor 7 no eixo z \,\! e traçamos um subplano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo z \,\!, na direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o ponto.

Planos primários[editar | editar código-fonte]

Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico que estão equidistantes dos planos formados por qualquer combinação de dois eixos.[2]

Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo:

  • (a,y,z) \,\! ou,
  • (x,a,z) \,\! ou,
  • (x,y,a) \,\!.

Onde a \,\! é uma constante.

Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido.

Distância entre pontos[editar | editar código-fonte]

Em um sistema bidimensional temos a distância entre dois pontos definida como:

D2_{ab}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2} \,\!

Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, o que nos revela a seguinte fórmula:

D3_{ab}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2} \,\!

Comprovação:

No plano xy \,\! a distância entre os dois pontos do subplano (x,y,0) \,\! é D2_{ab} \,\!, para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância xy \to z \,\!., mais precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro dos valores de x \,\! e y \,\!, com o valor em z \,\!. Esta distância xy \,\! corresponde a D2_{ab} \,\!, logo:

D3_{ab}=\sqrt{\left(D2_{ab}\right)^2+(z_b-z_a)^2} \,\!

O que define o seu valor após a substituição de D2_{ab} \,\!, resultando na fórmula definida anteriormente.[2]

A esfera[editar | editar código-fonte]

Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são (x,y,z) \,\! e que podemos especificar um ponto de coordenadas (h,k,l) \,\!, a distância entre os pontos é:

D3_{ab}=\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2} \,\!

Definimos D3_{ab}=R \,\!, que é o raio da esfera, conseqüentemente:

R^2=(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2 \,\!

Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a técnica de secionamento por Lâminas paralelas;

Referências

  1. João Jeronimo & Marcos Antônio Nunes de Moura. Introdução ao Cálculo vol II. 20 de março de 2013. 158 págs. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Acesso em 13 jul. 2013.
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Ver também[editar | editar código-fonte]