Poliedro

Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, cujos vértices são formados por três ou mais arestas em três dimensões (eixo dos "X", "Y", "Z",...) em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices.

Definição Formal

Um poliedro é um conjunto de pontos que pode ser escrito na forma:

$\{{x}\in {R}^{n}|Ax\geq b,A\in {R}^{m\times n},b\in {R}^{m}\}.$

Portanto um poliedro é a intersecção de semi-espaços.

Dizemos que um poliedro está no formato padrão se ele é escrito como:

$\{{x}\in {R}^{n}|Ax=0,x\geq 0,A\in {R}^{m\times n},b\in {R}^{m}\}$

É possível demonstrar que qualquer poliedro pode ser escrito na forma padrão^[1].

Características

Um poliedro que tenha como faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.

Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.

De um poliedro de Platão, exige-se que:

Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Existem cinco tipos de poliedros de Platão que são regulares e convexos:

1. Tetraedro
2. Octaedro
3. Icosaedro
4. Hexaedro
5. Dodecaedro

Na tentativa de construir poliedros regulares, verifica-se que na prática, que não é possível fazê-lo nem com hexágonos e nem com polígonos que tenham mais do que seis lados.

Teorema de Euler

Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação

V + F = A + 2 ou V - A + F = 2

Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.

Os poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos "Elementos" de Euclides (cerca de 300 a.C.) é inteiramente dedicado aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita.

A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é :

S = (V – 2).4r -

Onde V é o número de vértices e r é um ângulo reto.

A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada pela expressão

S = (V – 2).360 -

O poliedro apresenta somente faces planas.

Operações de transformação sobre sólidos

Poliedros duais

O poliedro dual é obtido ligando os centros de todos os pares de faces adjacentes de qualquer sólido, produzindo-se outro sólido menor.

Quando há a dualidade entre dois poliedros dizemos que estes são poliedros conjugados.

Truncatura

A Truncatura de um Sólido consiste na remoção dos vértices de um sólido (poliedro). Com isso adquirimos um novo poliedro com mais faces diferentes.

Acumulação

A Acumulação de sólidos é a operação dual da truncatura e consiste em substituir as faces poligonais por pirâmides, cúpulas, prismas ou outros poliedros.

Snubificação

A Snubificação de um Poliedro consiste em afastar as faces do poliedro, rodar as mesmas um certo ângulo (normalmente 45º) e preencher o espaço vazio entre as novas faces com triângulos.

Expansão

A Expansão de Sólido é um caso especial de uma Snubificação sem rotação.

A operação consiste em afastar todas as faces do poliedro e preencher os espaços vazios resultantes com polígonos (triângulos, rectângulos, pentágonos, etc.). Ou seja é uma operação onde um poliedro permite a origem de outro poliedro.

Composição

Composição de Sólido consiste em colocar vários poliedros (ou sólidos) partilhando o mesmo centro. O poliedro resultante chama-se Poliedro composto.

Estrelamento

O estrelamento de um poliedro consiste em estender os planos definidos pelas suas faces até se intersectarem, formando assim um novo sólido.

Poliedros regulares

Existem 9 poliedros regulares que são os 5 Sólidos Platónicos e os 4 Poliedros de Kepler-Poinsot.

Sólidos Platónicos

São apenas cinco os poliedros regulares convexos ("Platônicos").^[2]

	Tetraedro	Hexaedro	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro.
Vértices	4	8	6	20	12
Arestas	6	12	12	30	30
Faces	4	6	8	12	20
Forma Face	Triângulo	Quadrado	Triângulo	Pentágono	Triângulo
Ângulo Diedro (1)	70°32'	90°	109°28'	116°34'	138°11'
Ângulo Central (2)	109°28'	70°32'	90°	41°49'	63º26'
Raio Insfera (3)	0,2141 A	0,5 A	0,4082 A	1,1135 A	0,7558 A
Raio (4) Meiosfera	0,3536 A	0,7071 A	0,5 A	1,3092 A	0,8090 A
Raio (5) Circunsfera	0,6124 A	0,8660 A	0,7071 A	1,4013 A	0,9511 A
Superfície	1,7321 A²	6 A²	3,4641 A²	20,6457 A²	7,6631 A²
Volume	0,1179 A³	A³	0,4714 A³	7,6631 A³	20,6457 A³
Altura	0,8165 A (V-F)	A (F-F)	0,7071A (V-V)	2,2270 A (F-F)	1,5116 A (F-F)

A = comprimento da Aresta
(1) - Ângulo diedro - ângulo entre duas faces
(2) - Ângulo central - ângulo entre dois raios da Circunsfera tomados a partir de dois vértices de uma aresta
(3) - Insfera - esfera interna ao Poliedro - tangente ao ponto central de todas as faces
(4) - Meiosfera - esfera média ao Poliedro - tangente ao ponto médio de todas as arestas.
(5) - Circunsfera - esfera externa ao Poliedro - tangente a todos os vértices.

Poliedros de Kepler-Poinsot

São poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos.

Existem apenas quatro:

Pequeno dodecaedro estrelado

Grande dodecaedro estrelado

Grande dodecaedro

Icosaedro estrelado.

Poliedros não regulares

Sólidos de Arquimedes

Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos.

Onze são obtidos truncando sólidos platónicos:

O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.

Dois que são obtidos por snubificação de sólidos platónicos:

O Cubo snub e o Icosidodecaedro snub. Estes dois sólidos têm caso isomórfico, quer dizer uma figura de espelho correspondente.

Os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes são os Sólidos de Catalan.

Prismas e Antiprismas

Os prismas e antiprismas são grupos infinitos.

Os Prismas são constituídos por duas faces paralelas chamadas diretrizes que dão o nome ao prisma, e uma série de retângulos, tantos como lados da face diretriz. Por exemplo, o prisma cujas faces diretrizes são triangulares chama-se prisma triangular e compõe-se de 2 triângulos e 3 retângulos; tem 9 arestas e 6 vértices de ordem 3 de onde convergem sempre dois retângulos e um triângulo. Outro exemplo seria o Prisma decagonal composto de 2 decágonos + 10 rectângulos; tem 30 arestas e 20 vértices de ordem 3.

Os antiprismas são poliedros constituídos por duas faces poligonais iguais e paralelos chamadas diretrizes, ligados por triângulos.

O número de triângulos é igual ao número de lados da face diretriz multiplicado por dois; assim o antiprisma pentagonal (figura) compõe-se de 2 pentágonos e 10 triângulos; tem 10 vértices e 20 arestas.

Pirâmides e Bipirâmides

Pirâmide de n-lados é um poliedro formado pela ligação de todos os vértices de um lado poligonal de n lados com um único ponto, chamado vértice da pirâmide, através de n faces triangulares.

Bipirâmide ou dipirâmide é um poliedro formado juntando a uma pirâmide e sua imagem do espelho na base. Exemplo Octaedro.

Sólidos de Catalán

Os Sólidos de Catalan são os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes

Os Sólidos de Catalan são 13:

O Tetraedro triakis; o Dodecaedro rômbico; o Octaedro triakis; o Hexaedro tetrakis; o Icositetraedro deltoidal; o Dodecaedro disdiakis; o Icositetraedro pentagonal; o Triacontaedro rômbico; o Icosaedro triakis; o Dodecaedro pentakis; o Hexecontaedro deltoidal; o Triacontaedro disdiakis e o Hexecontaedro pentagonal.

Deltaedros

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Há infinitos deltaedros, mas apenas oito são convexos:

3 Poliedros regulares convexos (3 dos Sólidos Platónicos)
5 Poliedros não uniformes convexos (5 dos Sólidos de Johnson)

Trapezoedros

Um Trapezoedro ou deltoedro é um poliedro dual de um antiprisma. As suas faces são deltóides.

Notas

↑ Introduction to Linear Optimization. [S.l.: s.n.] 1997. ISBN 978-1886529199 |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda)
↑ http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_poli_reg.pdf

Ligações externas

Commons

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Poliedro

Uma Pletora de Poliedros Uma coleção interativa de poliedros em JAVA. Os recursos incluem planificações, cortes por planos, truncamentos e estrelamentos de mais de 300 poliedros.
Poliedro - Sólido limitado por polígonos
Geometria Espacial
Polyedergarten

Ver também

Polígono, a figura em 2 dimensões
Polítopo, a generalização para um número qualquer de dimensões
Polícoro, o objeto com 4 dimensões

[1] Introduction to Linear Optimization. [S.l.: s.n.] 1997. ISBN 978-1886529199 |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda)

[2] ttp://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_poli_reg.pdf

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[2]