Polinômio característico

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Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz A n\times n ou de um operador linear A \in L(V, V) em um espaço vetorial V de dimensão finita n com base C é o polinômio:[1]

p_{A}(x) = \det[x I - A]_{C}

em que \det é o determinante e I é a matriz identidade n\times n (ou o operador identidade). Este é um polinômio mônico de grau n, ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é 1. Os autovalores de A são as raízes de seu polinômio característico.[2]

O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico mA(x) de menor grau tal que m_{A}(A)(v)=0, \forall v \in V.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular:

det \left ( A-\lambda I \right )=0.

Para uma matriz de dimensão nXn, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A[3] .

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja A uma matriz de dimensão 2\times 2 dada por:

A= \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12}  \\
    a_{21} & a_{22}
    \end{bmatrix}

Então, seu polinômio característico é:

\begin{align} p_A(\lambda) &= \det \left(A - \lambda I \right) \\
& = \det \left(\begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12}  \\
    a_{21} & a_{22}
    \end{bmatrix}
    -\lambda \begin{bmatrix}
    1 & 0  \\
    0 & 1
    \end{bmatrix}\right)\\
& = \det\left(\begin{bmatrix}
    a_{11}-\lambda & a_{12}  \\
    a_{21} & a_{22}-\lambda
    \end{bmatrix}\right)\\
& = \left[\left(a_{11}-\lambda \right) \left(a_{22}-\lambda \right)\right] - \left[a_{12} a_{21}\right]\\
& =\lambda^2 - \left(a_{11}+a_{22}\right)\lambda + \left(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \right) \\
& = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)
\end{align}

onde, \text{tr}(A) é o traço de A.


Referências

  1. Flávio Ulhoa Coelho; Mary Lilian Louenço. Um Curso De Álgebra Linear. pag. 136
  2. Kolman, B.. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622086.
  3. SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas.Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 585.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

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