Polinômio característico

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
(Redirecionado de Polinómio característico)
Ir para: navegação, pesquisa

Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz A n x n ou de um operador linear A \in L(V, V) em um espaço vetorial V de dimensão finita com base C é o polinômio:1

p_{A}(x) = det[x I - A]_{C}

em que det é o determinante e I é a matriz identidade (ou o operador identidade).

Sendo A uma matriz n x n ou A um operador linear em um espaço de dimensão n, este polinômio é um polinômio mônico de grau n, ou seja, o coeficiente do termo de maior grau deste polinômio é 1.

Os autovalores de A, caso existam, são as raízes de seu polinômio característico.

O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico mA(x) de menor grau tal que m_{A}(A)(v)=0, \forall v \in V.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular:

det \left ( A-\lambda I \right )=0.

Para uma matriz de dimensão nXn, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A2 .

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja A uma matriz de dimensão 2X2 arbitrária, ou seja, A= \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12}  \\
    a_{21} & a_{22} \\
    \end{bmatrix} Para descobrir se A é uma matriz singular, construímos o polinômio característico:

det \left (A - \lambda I \right ) = det \Bigg\{ \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12}  \\
    a_{21} & a_{22} \\
    \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix}
    1 & 0  \\
    0 & 1 \\
    \end{bmatrix} \Bigg\}=\begin{vmatrix}
    a_{11}-\lambda & a_{12}  \\
    a_{21} & a_{22}-\lambda \\
    \end{vmatrix}=\left [ \left ( a_{11}-\lambda \right ) \left ( a_{22}-\lambda \right )\right ]-\left [ a_{12} a_{21}\right ]=\lambda^2- \left ( a_{11}+a_{22} \right )\lambda + \left ( a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \right )

Note que porque a matriz A tem dimensão 2X2, o polinômio característico tem grau 2. O número de raízes sempre será 2, embora seja possível que duas raízes tenham o mesmo valor2 .

Referências

  1. Flávio Ulhoa Coelho; Mary Lilian Louenço. Um Curso De Álgebra Linear. pag. 136
  2. a b SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas.Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 585.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

.

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.