Polinômio característico

Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz A n x n ou de um operador linear $A \in L(V, V)$ em um espaço vetorial V de dimensão finita com base C é o polinômio:

$p_{A}(x) = det[x I - A]_{C}$

em que det é o determinante e I é a matriz identidade (ou o operador identidade).

Sendo A uma matriz n x n ou A um operador linear em um espaço de dimensão n, este polinômio é um polinômio mônico de grau n, ou seja, o coeficiente do termo de maior grau deste polinômio é 1.

Os autovalores de A, caso existam, são as raízes de seu polinômio característico.

O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico m_A(x) de menor grau tal que $m_{A}(A)(v)=0$, $\forall v \in V$.

Motivação

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular:

$det \left ( A-\lambda I \right )=0$.

Para uma matriz de dimensão nXn, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A .

Exemplo

Seja A uma matriz de dimensão 2X2 arbitrária, ou seja, $A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$ Para descobrir se A é uma matriz singular, construímos o polinômio característico:

$det \left (A - \lambda I \right ) =$$det \Bigg\{ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \Bigg\}$$=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \\ \end{vmatrix}$$=\left [ \left ( a_{11}-\lambda \right ) \left ( a_{22}-\lambda \right )\right ]-\left [ a_{12} a_{21}\right ]$$=\lambda^2- \left ( a_{11}+a_{22} \right )\lambda + \left ( a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \right )$

Note que porque a matriz A tem dimensão 2X2, o polinômio característico tem grau 2. O número de raízes sempre será 2, embora seja possível que duas raízes tenham o mesmo valor .

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