Polinómio de Hermite

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

Os cinco primeiros polinômios de Hermite (probabilísticos).

Definição[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!

Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")

H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!

Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:

H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\,x)\,\!.

Os polinômios físicos podem ser escritos como:

H_n^\mathrm{phys}(x) = (2x)^n - \frac{n(n-1)}{1!}(2x)^{n-2}
+ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}(2x)^{n-4} - \dots

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Ortogonalidade[editar | editar código-fonte]

Hn(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso

e^{-x^2/2}\,\! (probabilidade)

ou

e^{-x^2}\,\! (física)

ou seja,

\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx
\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx

ou

\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx={n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{\mathit{nm}} (física)

onde δij é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando n = m e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísiticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

Função geradora[editar | editar código-fonte]

e^{2tx-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n^\mathrm{phys}(x)t^n}{n!}

Fórmulas de recorrência[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:

H_{n+1}^\mathrm{phys}(x) = 2xH_{n}^\mathrm{phys}(x)-2nH_{n-1}^\mathrm{phys}(x)
{H'}_{n}^\mathrm{phys}(x) = 2nH_{n-1}^\mathrm{phys}(x)

Decomposição numa série de funções[editar | editar código-fonte]

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x) = A_0H_0(x) +A_1H_1(x) +A_2H_2(x) +\ldots

Onde as constantes são dadas por:

A_k = \frac{1}{2^kk!\sqrt{\pi}}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}f(x)H_k(x)\ dx

Outras propriedades[editar | editar código-fonte]

H_n(-x)=(-1)^nH_n(x)\,
H_{2n-1}(0)=0\,
H_{2n}^\mathrm{phys}(0) = (-1)^n2^n(1\cdot3\cdot5\cdot\dots\cdot(2n-1))

Equação diferencial de Hermite[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:[1]

\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+2ny = 0

Que na forma canônica pode ser escrita como:

\frac{1}{e^{-x^2}}\frac{d}{dx}\left(e^{-x^2}\frac{dy}{dx}\right)+2ny = 0

Referência[editar | editar código-fonte]

  1. Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.
  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid): McGraw-Hill (ed.), 1992. ISBN 84-7615-197-7