Polinómio de Hermite

Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

Os cinco primeiros polinômios de Hermite (probabilísticos).

Definição

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!$

Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")

$H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!$

Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:

$H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\,x)\,\!$.

Os polinômios físicos podem ser escritos como:

$H_n^\mathrm{phys}(x) = (2x)^n - \frac{n(n-1)}{1!}(2x)^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}(2x)^{n-4} - \dots$

Propriedades

Ortogonalidade

H_n(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso

$e^{-x^2/2}\,\!$ (probabilidade)

ou

$e^{-x^2}\,\!$ (física)

ou seja,

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx$

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx$

ou

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx={n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{\mathit{nm}}$ (física)

onde δ_ij é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando n = m e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísiticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

Função geradora

$e^{2tx-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n^\mathrm{phys}(x)t^n}{n!}$

Fórmulas de recorrência

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:

$H_{n+1}^\mathrm{phys}(x) = 2xH_{n}^\mathrm{phys}(x)-2nH_{n-1}^\mathrm{phys}(x)$

${H'}_{n}^\mathrm{phys}(x) = 2nH_{n-1}^\mathrm{phys}(x)$

Decomposição numa série de funções

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x) = A_0H_0(x) +A_1H_1(x) +A_2H_2(x) +\ldots$

Onde as constantes são dadas por:

$A_k = \frac{1}{2^kk!\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}f(x)H_k(x)\ dx$

Outras propriedades

$H_n(-x)=(-1)^nH_n(x)\,$

$H_{2n-1}(0)=0\,$

$H_{2n}^\mathrm{phys}(0) = (-1)^n2^n(1\cdot3\cdot5\cdot\dots\cdot(2n-1))$

Equação diferencial de Hermite

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:

$\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+2ny = 0$

Que na forma canônica pode ser escrita como:

$\frac{1}{e^{-x^2}}\frac{d}{dx}\left(e^{-x^2}\frac{dy}{dx}\right)+2ny = 0$

Referência

• Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em espanhol, cujo título é «Polinomios de Hermite», especificamente desta versão.

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid): McGraw-Hill (ed.), 1992. ISBN 84-7615-197-7