Polinómios de Bernstein

Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:

$B_i^n(x)={n \choose i}x^i(1-x)^{n-i}$

O conjunto $\{B_i^n\}_{i=0}^n$ forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se $P(x)$ é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:

$P(x)=\sum_{i=0}^n\beta_i{n \choose i}x^i(1-x)^{n-i}$

Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.

Exemplo

Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3

No caso dos polinômios de grau $3$ a base é composta de:

• $B^3_0 (x) = {3 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{3 - 0} = (1 - x)^3$
• $B^3_1 (x) = {3 \choose 1} x^1 (1 - x)^{3 - 1} = 3 x (1 - x)^2$
• $B^3_2 (x) = {3 \choose 2} x^2 (1 - x)^{3 - 2} = 3 x^2 (1 - x)$
• $B^3_3 (x) = {3 \choose 3} x^3 (1 - x)^{3 - 3} = x^3$

Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:

$P(x) = c_0 B^3_0(x) + c_1 B^3_1(x) + c_2 B^3_2(x) + c_3 B^3_3(x)$

Propriedades fundamentais

Estes polinômios possuem propriedades importantes:

• Partição da unidade:

$\sum_{i=0}^n B_i^n(x) = 1$,

• Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:

$B_i^n(x) \geq 0 ,\in [0,1]$,

• Relação de recorrência:

$B_i^n(x) = (1-x)B_i^{n-1}(x) + x B_{i-1}^{n-1}(x)$.

• Simetria:

$B_i^n(x) = B_{n-i}^n(1-x)$

• Produto:

$B_i^n(x) B_j^m(x)$ $= \frac{{n \choose i} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {i+j}} } B_{n+m}^{i+j}(x)$

• Derivada:

$\frac{d}{dt} B_i^n(x) = n \left( B_{i-1}^{n-1}(x) - B_i^{n-1}(x) \right)$ ficando bem convencionado que $B^n_i(x)=0\hbox{ se } i<0 \hbox{ ou } i>n$

• Representação em grau superior:

$B_i^n(x) = \frac{n+1-i}{n+1} B_i^{n+1}(x) + \frac{i+1}{n+1} B_{i+1}^{n+1}(x)$

• Pontos de máximo:

$B_i^n(x)\,$ assume valor máximo no intervalo $[0,1]\,$ em $x=\frac{i}{n}\,$. Este máximo é local se $0<i<n\,$.

A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:

$[x+(1-x)]^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^i(1-x)^{n-i}$

A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.

Representação de $x^k$

Para obter uma representação de $x^k$ como polinômio de Bernstein, escreva:

$(u+v)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} u^iv^{n-i}$

Agora diferencie em relação a $u$ e multiplique por u/n para obter:

$u(u+v)^{n-1} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i}{n} u^iv^{n-i}$

se fizermos $u=x$ e $v=1-x$, temos:

$x = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i}{n} x^i(1-x)^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{i}{n} B_i^n(x),~n\geq 1$

Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:

$u^2(u+v)^{n-2} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i(i-1)}{n(n-1)} u^iv^{n-i}$

e teríamos obtido:

$x^2 = \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{n(n-1)} B_i^n(x),~n\geq 2$

Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para $k\leq n$:

$x^k = \sum_{i=k}^n \frac{i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots(n-k+1)} B_i^n(x), ~n\geq 3$

Polinômio de Bernstein associado a uma função

Seja $f(x):[0,1]\to\mathbb{R}$, o polinômio de Bernstein de grau n associado a $f(x)$ é dado por:

$P_n(x)=\sum_{i=0}^n f\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(x)$

Se $f(x)$ for uma função contínua, então $P_n(x)$ converge uniformemente para $f(x)$ quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.

Veja também

• Interpolação polinomial
• Binómio de Newton
• Teorema de Stone-Weierstrass