Polinómios de Bernstein

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Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:

B_i^n(x)={n \choose i}x^i(1-x)^{n-i}

O conjunto \{B_i^n\}_{i=0}^n forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se P(x) é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:

P(x)=\sum_{i=0}^n\beta_i{n \choose i}x^i(1-x)^{n-i}

Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3

No caso dos polinômios de grau 3 a base é composta de:

  • B^3_0 (x) = {3 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{3 - 0} = (1 - x)^3
  • B^3_1 (x) = {3 \choose 1} x^1 (1 - x)^{3 - 1} = 3 x (1 - x)^2
  • B^3_2 (x) = {3 \choose 2} x^2 (1 - x)^{3 - 2} = 3 x^2 (1 - x)
  • B^3_3 (x) = {3 \choose 3} x^3 (1 - x)^{3 - 3} = x^3

Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:

P(x) = c_0 B^3_0(x) + c_1 B^3_1(x) + c_2 B^3_2(x) + c_3 B^3_3(x)

Propriedades fundamentais[editar | editar código-fonte]

Estes polinômios possuem propriedades importantes:

\sum_{i=0}^n B_i^n(x) = 1,
  • Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:
B_i^n(x) \geq 0 ,\in [0,1],
  • Relação de recorrência:
B_i^n(x) = (1-x)B_i^{n-1}(x) + x B_{i-1}^{n-1}(x).
  • Simetria:
B_i^n(x) = B_{n-i}^n(1-x)
  • Produto:
B_i^n(x) B_j^m(x) = \frac{{n \choose i} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {i+j}} } B_{n+m}^{i+j}(x)
  • Derivada:
\frac{d}{dt} B_i^n(x) = n \left( B_{i-1}^{n-1}(x) - B_i^{n-1}(x) \right) ficando bem convencionado que B^n_i(x)=0\hbox{ se } i<0 \hbox{ ou } i>n
  • Representação em grau superior:
B_i^n(x) = \frac{n+1-i}{n+1} B_i^{n+1}(x) + \frac{i+1}{n+1} B_{i+1}^{n+1}(x)
B_i^n(x)\, assume valor máximo no intervalo [0,1]\, em x=\frac{i}{n}\,. Este máximo é local se 0<i<n\,.

A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:

[x+(1-x)]^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^i(1-x)^{n-i}

A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.

Representação de x^k[editar | editar código-fonte]

Para obter uma representação de x^k como polinômio de Bernstein, escreva:

(u+v)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} u^iv^{n-i}

Agora diferencie em relação a u e multiplique por u/n para obter:

u(u+v)^{n-1} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i}{n} u^iv^{n-i}

se fizermos u=x e v=1-x, temos:

x = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i}{n} x^i(1-x)^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{i}{n} B_i^n(x),~n\geq 1

Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:

u^2(u+v)^{n-2} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}\frac{i(i-1)}{n(n-1)} u^iv^{n-i}

e teríamos obtido:

x^2 = \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{n(n-1)} B_i^n(x),~n\geq 2

Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para  k\leq n :

x^k = \sum_{i=k}^n \frac{i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots(n-k+1)} B_i^n(x), ~n\geq 3

Polinômio de Bernstein associado a uma função[editar | editar código-fonte]

Seja f(x):[0,1]\to\mathbb{R}, o polinômio de Bernstein de grau n associado a f(x) é dado por:

P_n(x)=\sum_{i=0}^n f\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(x)

Se f(x) for uma função contínua, então P_n(x) converge uniformemente para f(x) quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.


Veja também[editar | editar código-fonte]

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