Polinômio de Lagrange

Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange.

Definição

Dado um conjunto de k+1 pontos:

$(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)$

com todos x_j distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

$L(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j l_j(x)$,

com polinômios da base de Lagrange dados por:

$l_j(x) := \prod_{i=0, j\neq i}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}$

Prova

Procuramos uma função que seja um polinômio L(x) de grau menor ou igual a k, com

$L(x_j) = y_j \qquad j=0,\ldots,k$

O polinômio de lagrange é a solução para o problema de interpolação.

Como podemos comprovar

1. $\ell_j(x)$ é um polinômio e tem grau k.
2. $\ell_i(x_j) = \delta_{ij},\quad 0 \leq i,j \leq k.\,$

Então, a função L(x) é um polinômio com grau menor ou igual a k e

$L(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{ji} = y_i.$

Existe apenas uma única solução para o problema de interpolação, uma vez que a diferença de duas soluções seria um polinômio de grau menor ou igual a k e k+1 zeros. Isto somente é possível se a diferença for identicamente nula, então L(x) é o único polinômio que interpola os dados fornecidos.

Ideia Principal

Resolver um problema de interpolação leva a um problema de álgebra linear, no qual há a necessidade de se resolver um sistema matricial. Usando uma base mononial padrão para a interpolação, obtém-se a matriz de Vandermonde. Escolhendo-se outra base, tal como a base de Lagrange, chega-se a um sistema muito mais simples Matriz identidade = δ_i,j, que pode ser prontamente resolvido.

Veja também

• Quocientes de determinantes