Polinômios de Tchebychev

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Em matemática, os Polinómios de Tchêbyshev (pt-PT) ou Polinômios de Tchebychev (pt-BR), receberam esse nome após matemático Pafnuty Chebyshev[1] defini-los como uma sequência de polinômios ortogonais, relacionados com a fórmula de Moivre e facilmente obtíveis de forma recursiva. Costuma-se denotar os polinômios de Tchebychev de primeira ordem por Tn o os polinômios de Tchebychev de segunda ordem por Un. O uso da letra T para os polinômios de primeira ordem foi dado devido a uma das trasliterações de Tchebychev, que admitem também Chebyshev, Tchebyshef e Tschebyscheff.

Os polinômios de Tchebychev Tn ou Un são polinômios de grau n e a sequência dos polinômios de todos os graus formam uma sequência polinomial.

Os polinômios de Tchebyshev são importantes na teoria da aproximação porque as raízes dos polinômios de primeira ordem podem ser utilizados na interpolação polinomial. O resultado da interpolação minimiza o problema do fenômeno de Runge e fornece a melhor aproximação de uma função contínua que obedece à norma do supremo. Essa aproximação conduz diretamente ao método da quadratura de Clenshaw–Curtis.

No estudo de equações diferenciais os polinômios de Tchebychev surgem como soluções das equações de Chebyshev

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!

e

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!

Definição[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Tchebyshev de primeira ordem são definidos pela relação recursiva:

T_0(x) = 1 \,\!
T_1(x) = x \,\!
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,\!

Um exemplo de função geradora para Tn é

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!

Os polinômios de Tchebychev de segunda ordem são definidos pela relação recursiva:

U_0(x) = 1 \,\!
U_1(x) = 2x \,\!
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,\!

Um exemplo de função geradora para Un é

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-t(2x+t)}. \,\!

Definição trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Tchebychev podem ser definidos através das identidades trigonométricas:

T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!

onde:

T_n(\cos(\vartheta))=\cos(n\vartheta) \,\!

para n = 0, 1, 2, 3, ..., enquanto os polinômios de segunda ordem satisfazem

 U_n(\cos(\vartheta)) = \frac{\sin((n+1)\vartheta)}{\sin\vartheta} \,\!

que são semelhantes às equações núcleo de Dirichlet.

Aplicação da definição trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Tomando-se

T_0(x)=\cos\ 0x\ =1 \,\!

e

T_1(\cos(x))=\cos\ (x) \,\!

é fácil obter algumas propriedades trigonométricas utilizando os polinômios de Tchebychev:


\cos(2 \vartheta)=2\cos\vartheta \cos\vartheta - \cos(0 \vartheta) = 2\cos^{2}\,\vartheta - 1 \,\!

\cos(3 \vartheta)=2\cos\vartheta \cos(2\vartheta) - \cos\vartheta = 4\cos^3\,\vartheta - 3\cos\vartheta \,\!

e assim por diante.

Relação entre os polinômios de Tchebychev de primeira e segunda ordem[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Tchebychev de primeira e segunda ordem estão estreitamente correlacionados pelas seguintes equações:

\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{, } n=1,\ldots
T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).

A relação entre as derivadas dos prolinômios de Tchebychev são dadas pelas seguintes equações:

2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{, }\quad n=1,\ldots

Essas proprieades são utilizadas para obter as soluções de equações diferenciais pelo método do espectro de Tchebychev.

De forma equivalente as duas sequências, de primeira e segunda ordem, podem ser definidas de forma mutualmente recursiva:

T_0(x) = 1\,\!
U_{-1}(x) = 0\,\!
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)\,

Fórmulas epecíficas[editar | editar código-fonte]

Diferentes abordagens na definição dos polinômios de Tchebychev levam a fórmulas específicas, tais como:

T_n(x) =
\begin{cases}
\cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases} \,\!



\begin{align}
T_n(x) & = \frac{(x-\sqrt{x^2-1})^n+(x+\sqrt{x^2-1})^n}{2} \\
& = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k}

= x^n \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (1 - x^{-2})^k
\end{align}



\begin{align}
U_n(x) & = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1} - (x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\
& = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}= x^n \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (1 - x^{-2})^k
\end{align}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Aninhamento[editar | editar código-fonte]

Um colorário imediato da definição recursiva dos polinômios de Tchebychev é a proriedade de aninhamento, ou identidade de composição:

T_n(T_m(x)) = T_{n\cdot m}(x).\,\!

Ortogonalidade[editar | editar código-fonte]

Ambas os polinômios de primeira e segunda ordem, Tn e Un, formam uma sequência de polinômios ortogonais. Os polinômios de primeira ordem são ortogonais com relação ao peso

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\!

no intervalo [−1,1], ou seja:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{
\begin{matrix}
0 &: n\ne m~~~~~\\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{matrix}
\right. \,\!

Tal propriedade pode ser provada definindo  x = \cos(\vartheta) e usando a identidade  T_n(\cos(\vartheta)) = \cos(n\vartheta). Similarmente os polinômios de segunda ordem são ortogonais ao peso

\sqrt{1-x^2} \,\!

no intervalo [−1,1], ou seja:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx =
\begin{cases}
0 &: n\ne m, \\
\pi/2 &: n=m.
\end{cases} \,\!

(Note que o peso \sqrt{1-x^2} \,\! é, dentro de uma constante de normalização, a densidade da distribuição do semicírculo de Wigne.

Mínimo ∞-norm[editar | editar código-fonte]

Para qualquer n ≥ 1, entre os polinônios de grau n e coeficiente principal 1,

f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x)

é uma função onde o valor absoluto máximo no intervalo [−1, 1] é mínimo.

O valor máximo nesse caso é

\frac1{2^{n-1}}

e |ƒ(x)| atinge o máximo exatamente n + 1 vezes em

x = \cos \frac{k\pi}{n}\text{ for }0 \le k \le n.

Diferenciação e integração[editar | editar código-fonte]

As derivadas dos polinômios de Tchebychev podem ser simples de se obter. A diferenciação dos polinômios na forma trigonométrica podem ser obtidos pelas fórmulas:

\frac{d T_n}{d x} = n U_{n - 1}\,
\frac{d U_n}{d x} = \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1}\,
\frac{d^2 T_n}{d x^2} = n \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.\,

As duas últimas fórmulas podem causar algumas dificuldades numéricas quando x=1 e x=-1. Pode ser mostrado que:

\frac{d^2 T_n}{d x^2} \Bigg|_{x = 1} \!\! = \frac{n^4 - n^2}{3},
\frac{d^2 T_n}{d x^2} \Bigg|_{x = -1} \!\! = (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}.

Raízes e extremos[editar | editar código-fonte]

Um polinômio de Tchebychev de grau n tem n raízes raízes simples, chamadas de "nós" de Tchebychev, compreendidas no intervalo [−1,1]. As raízes são muitas vezes chamadas por esse nome porque são frequentemente utilizadas na interpolação polinomial. Usando a definição trigonométrica e usando a propriedade

\cos\left(\frac{\pi}{2}\,(2k+1)\right)=0

é possível mostrar facilmente que as raízes de Tn são

 x_k = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2k-1}{n}\right),\quad k=1,\ldots,n.

Similarmente, as raízes de Un são

 x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.

Uma pripriedade dos polinômios de Tchebychev de primeira ordem é que no intervalo -1 ≤ x ≤ 1 todos os máximos e mínimos valores são -1 ou 1. Dessa forma esses polinômios tem apenas dois valores críticos, tal como definidos pelos polinômios de Shabat. Ambos os polinômios de primeira ordem e segunda ordem possuem os extremos no limite de intervalo de definição das funções, sendo dados por:

T_n(1) = 1\,
T_n(-1) = (-1)^n\,
U_n(1) = n + 1\,
U_n(-1) = (n + 1)(-1)^n.\,

Outras Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Os polinômios de Tchebychev são um caso particular dos polinômios de Gegenbauer, que por sua vez é caso particular dos polinômios de Jacobi.
  • Para todo inteiro n não negativo, Tn(x) e Un(x) são ambos polinômios de grau n. Eles são funções ímpares ou pares de x se n é ímpar ou par, respectivamente.
  • O coeficiente principal de Tn é 2n-1}} se 1≤n e 1 se 0=n.
  • Tn são casos especiais das curvas de Lissajous com frequência relativa igual a n:1.
  • Diversas sequências de polinômios tais como os polinômios de Lucas polynomials (Ln), polinômios de Dickson (Dn), polinômios de Fibonacci (Fn) estão correlacionados com os polinômios de Tchebyshev Tn e Un.
  • Qualquer polinômio arbitrário de grau n pode ser escrito em termos de uma somatória de polinônios de Tchebychev de primeira ordem de grau máximo n. Tal polinômio arbitrário p(x) pode ser escrito como
p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os primeiros cinco polinômios de Tchebyshev de primeira ordem no domínio -1<x<1: The flat T0, T1, T2, T3, T4 and T5.

Os primeiros cinco polinônios de Tchebyshev de primeira ordem são:

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,
Os primeiros cinco polinômios de Tchebyshev de segunda ordem no domínio −1 < x < 1: The flat U0, U1, U2, U3, U4 and U5.

Os primeiros cinco polinônios de Tchebyshev de segunda ordem são:

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,

Referências

  1. Chebyshev polynomials were first presented in: P. L. Chebyshev (1854) "Théorie des mécanismes connus sous le nom parallelogrammes," Mémoires des Savants étrangers présentes à l'Academie de Saint-Pétersbourg, vol. 7, pages 539-586.