Polo (análise complexa)

O valor absoluto da função gama. A imagem mostra que a função torna-se infinita nos pólos (à esquerda). À direita, a função gamma não possui polos: ela apenas cresce rapidamente.

Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo 1/zⁿ no ponto z = 0.

Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) aproxima uniformemente para o infinito assim como z aproxima-se de a.

Definição

Formalmente, suponha Ω um subconjunto aberto do plano complexo C, a é um elemento de Ω e f : Ω − {a} → C é uma função holomorfa. Se existir uma função holomorfa g : Ω → C e um inteiro não negativo n tal que

$f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}$

para todo z em Ω − {a}, então a é denominada um polo de f. O menor número n satisfazendo a condição acima é chamada ordem do polo. Um polo de ordem 1 é chamado polo simples. Um polo de ordem 0 é uma singularidade removível.

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como g é uma função analítica, f pode ser expressa como:

$f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.$

Esta é uma série de Laurent com uma parte principal finita. A função holomórfica ∑_k≥0a_k (z - a)^k (em Ω) é chamada a parte regular de f. Então, o ponto a é um polo de ordem n de f se e somente se todos os termos da expansão da série de Laurent de f em torno de a de abaixo do grau −n desaparecem e o termo de grau −n não é nulo.

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Pole no MathWorld.
• Module for Zeros and Poles by John H. Mathews