Ponte de Wien

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Esquema de uma ponte de Wien: em verde o filtro e em azul o amplificador

Uma ponte de Wien é um oscilador eletrônico que gera ondas sinusoidais sem fonte de entrada.

História[editar | editar código-fonte]

A ponte de Wien foi desenvolvida originalmente por Max Wien em 1891. O circuito moderno é derivado da tese de mestrado de William Hewlett em 1939. Hewlett, com David Packard, co-fundou Hewlett-Packard. O primeiro produto da firma foi o HP 200A, um oscilador baseado na ponte de Wien. O 200A é um instrumento clássico conhecido pela baixa distorção do sinal de saída.

Modelagem[editar | editar código-fonte]

Esquema de um oscilador

Considere v_i e v_o as tensões de entrada e saída do amplificador e I_o a corrente de saída do mesmo. Obtêm-se as seguintes equações para os nós do circuito:

  • I_o=\frac{v_i}{R_2}+C_2 \frac{d v_i}{dt}\quad (1)
  • \frac{d }{dt}\left(v_o-v_i\right)=R_1 \frac{d I_o}{dt}+\frac{I_o}{C_1} \quad (2)

Substituindo (1)\, em (2)\,, tem-se:

  • \frac{d }{dt}\left(v_o-v_i\right)=R_1 \frac{d }{dt}\left(\frac{v_i}{R_2}+C_2 \frac{d v_i}{dt}\right)+\frac{1}{C_1}\left(\frac{v_i}{R_2}+C_2 \frac{d v_i}{dt}\right)

Que pode ser simplificado em

  • R_1C_2\frac{d^2 v_i}{dt^2}+\left(1+\frac{R_1}{R_2}+\frac{C_2}{C_1}\right)\frac{d v_i}{dt}+\left(\frac{1}{C_1R_2}\right)v_i-\frac{d v_o}{dt}=0

ou, equivalentemente:

  • \frac{d^2 v_i}{dt^2}+\left(\frac{R_1C_1+R_2C_1+R_2C_2}{R_1R_2C_1C_2}\right)\frac{d v_i}{dt}+\left(\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}\right)v_i-\frac{1}{R_1C_2}\frac{d v_o}{dt}=0\quad (3)

Solução[editar | editar código-fonte]

Caso linear[editar | editar código-fonte]

Quando a relação entre v_i\, e v_o\, é linear, ou seja:

v_0=k v_i\,

para alguma constante K\,, (3)\, recai em:

  • \frac{d^2 v_i}{dt^2}+\left(\frac{R_1C_1+R_2C_1+R_2C_2-k R_2 C_1}{R_1R_2C_1C_2}\right)\frac{d v_i}{dt}+\left(\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}\right)v_i=0

Esta é uma Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Define-se o fator de amortecimento, a freqüência natural de oscilação e ganho crítico:

  • \alpha:=\frac{R_1C_1+R_2C_1+R_2C_2-k R_2 C_1}{2\left(R_1R_2C_1C_2\right)^{1/2}}\quad w_0=\frac{1}{\left(R_1R_2C_1C_2\right)^{1/2}}\quad k_c=\frac{R_1C_1+R_2C_1+R_2C_2}{R_2C_1}

Nestes termos, a equação se escreve:

  • \frac{d^2 v_i}{dt^2}+2\alpha w_0\frac{d v_i}{dt}+w_0^2v_i=0

A solução geral desta equação é dada por:

  • v_i:=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}

onde \lambda_1\, e \lambda_2\, são as raízes da equação do segundo grau:1

  • \lambda^2+2\alpha w_0 \lambda + w_0^2=0

Assim, temos:

  • \lambda_{1,2}=\left(-\alpha  \pm \sqrt{\alpha^2-1}\right)w_0

Os autovalores \lambda_{1,2}\, possuem parte imaginária não nula quando |\alpha|<1\,, neste caso a solução geral é dada por:

  • v_i:=A_1 e^{\sigma t}\sin(wt)+A_2 e^{\sigma t}\cos(wt)\,

onde: \sigma=-w_0\alpha \quad\quad w= w_0\sqrt{1-\alpha^2}\,

Observam-se aqui três casos distintos:

  • Fator de amortecimento positivo \left(k>k_c\Rightarrow\alpha>0\Rightarrow \sigma<0\right)\,: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes crescem exponencialmente com tempo.
  • Fator de amortecimento negativo \left(k<k_c\Rightarrow\alpha<0\Rightarrow \sigma>0\right)\,: o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes decaem exponencialmente com tempo.
  • Fator de amortecimento nulo \left(k=k_c\Rightarrow\alpha= \sigma=0\right)\,: o sistema apresenta oscilações com amplitude constante.

Caso não linear[editar | editar código-fonte]

Oscilador com amplificador não linear.

Na prática, torna-se impossível construir um oscilador com fator de amortecimento exatamente igual a zero. Daí a necessidade de construir circuitos não lineares que controlem a amplitude de saída. As duas técnicas de controle mais utilizadas na prática são:

  • Controlar o ganho k\, do amplificador, de forma que k\, aumente quando as amplitudes forem inferiores à desejada e diminua quando as amplitudes ultrapassarem o valor desejado. Este técnica é chamada de controle automático de ganho.
  • Construir um amplificador não-linear (conformador) de forma que a relação entre v_i\, e v_o\, seja dada por uma relação da forma:
  • v_o=f(v_i)\,
Onde f\, é tipicamente uma função ímpar tal que:
  • \frac{df(v_i)}{dv_i}>k_c,~~ v_i=0\,
  • \frac{d^2f(v_i)}{d^2v_i}<0,~~ \hbox{em torno de }v_i=0\,

Conformador como estabilizador de amplitude[editar | editar código-fonte]

Quando o circuito é construído usando um amplificador não-linear, tal que:

  • v_o=f(v_i)\,

a equação diferencial que rege as oscilições é dada por:

  • \frac{d^2 v_i}{dt^2}-\beta\left(k(v_i)-k_c\right)\frac{d v_i}{dt}+w_0^2v_i=0

onde \beta=\frac{1}{R_1C_2} e

  • k(v_i)=\frac{df(v_i)}{dv_i}\,

Uma aproximação consiste em supor a existência de uma solução períodica de período T\, e analisar apenas a sua primeira harmônica v_i\,, :

  • v_i=A\sin(2\pi t/T)\,

O ganho ponderado do amplificador linear para esta componente do sinal será dado por:

  • \tilde{k}(A)=\frac{1}{AT\sqrt{2}}\int_{0}^{T} f\left(A\sin(2\pi t/T)\right)\sin(2\pi t/T)dt\,

Temos que \tilde{k}(A)\, é uma função da amplitude A\,, mas não depende do período T\,. Para pequenas oscilações, o ganho é dado por:

  • \lim_{A\to 0}\tilde{k}(A)=\left. \frac{df(v_i)}{dv_i}\right|_{v_i=0}>k_c\,

Se a função f\, tiver derivada segunda negativa, então \tilde{k}(A)\, é uma função decrescente em A\,. Vamos supor que existe uma amplitude crítica A_c\, tal que:

  • \tilde{k}{A_c}
\left\{
\begin{array}{ll}
>k_c,&A<A_c\\

= k_c,&A=A_c\\
<k_c,&A>A_c
\end{array}
\right.

então a solução A_c\sin(w_ot)\, aproxima um ciclo limite estável da equação.

Notas e referências

  1. Quando \lambda_1=\lambda_2, a solução geral é dada por v_i:=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 te^{\lambda_1 t}
Ícone de esboço Este artigo sobre eletrônica é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.