Ponto limite

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Em matemática, um ponto limite ou ponto de acumulação é um ponto em um conjunto que pode ser aproximado tão bem quanto se queira por infinitos outros pontos do conjunto.

Por definição, todo ponto de acumulação é um ponto de fecho.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Seja X\, um espaço topológico, um ponto a\in X\, é dito ser um ponto limite de um subconjunto S\, de X\, se toda vizinhança V\, de a\, intercepta por um ponto y\neq a\, de S\,, ou seja:
S \cap \left(V\backslash\{a\}\right)\neq \emptyset
  • Em um espaço métrico, esta definição é equivalente a dizer que existe uma seqüência \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S\, de pontos diferentes de a\, convergindo para a\,
  • Utiliza-se a notação X'\, para representar o conjunto dos pontos de acumulação de X\,. Às vezes, este conjunto é chamado o derivado de X\,.1

Definição no conjunto dos números reais (R)[editar | editar código-fonte]

A definição de ponto de acumulação no conjunto dos números reais é um caso especial da definição para espaço topológico porque no R estamos lidando com uma reta (uma dimensão), e não com um espaço com várias dimensões. Por isso, a "vizinhança" do ponto só pode estar à direita ou à esquerda deste ponto, e não acima ou abaixo, por exemplo, como poderia acontecer em espaços com duas dimensões.

Considere um conjunto X contido em R (X\subset\mathbb{R}, ou seja, X é um subconjunto de R, podendo ser inclusive o próprio R). Um número "a" pertencente a R chama-se ponto de acumulação do conjunto X quando todo intervalo aberto de centro a (a-\epsilon , a +\epsilon )\,\! contém algum ponto x pertencente a X diferente de "a".1 Simplificadamente, a é um ponto de acumulação de um conjunto X \,\! quanto toda vizinhança de "a" contém algum elemento (diferente de a) que pertença a X. Se X for igual a R (ou seja, o conjunto considerado é a reta inteira dos números reais), então todo elemento de X=R é ponto de acumulação, pois toda vizinhança de qualquer elemento de X=R contém uma infinidade de elementos de X=R.

Teorema[editar | editar código-fonte]

Dados X\subset\mathbb{R} e a\in\mathbb{R}, as seguintes afirmações são equivalentes:1

1)x\in X' (O ponto A é ponto de acumulação de X).

2) a= \lim_{n \to \infty}x_n , onde  x_n é uma sequência de elementos de X, dois a dois distintos.

3)Todo intervalo aberto contendo a possui uma infinidade de elementos de X.

Fatos[editar | editar código-fonte]

  • Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não pertencer a esse conjunto. Por exemplo, 2 é ponto de acumulação do intervalo (0, 2), embora não pertença a este intervalo, que é aberto.
  • Como o ponto de acumulação pressupõe uma vizinhança, nenhum ponto isolado de um conjunto é ponto de acumulação, pois não tem vizinhança e portanto é impossível encontrar pontos do conjunto X nela.2
  • Se X'\ne{\varnothing}, então X é infinito.3
  • X é um conjunto fechado se, e somente se, X'\subset X (lê-se: se o derivado está contido, é uma parte do conjunto X).4

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 175. ISBN 9788524401183
  2. LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 177. ISBN 9788524401183
  3. LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 176. ISBN 9788524401183
  4. LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 177. ISBN 9788524401183
  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Análise matemática para licenciatura. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 8521203713