Potencial de Lennard-Jones

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Um par de átomos neutros ou moléculas é sujeito a duas forças distintas no limite de maior e menor separação: uma força atrativa a grande distância (forças de London - forças de van der Waals) e uma força repulsiva em menores distâncias (o resultado de sobreposição de orbitais de elétrons, relacionados à força de troca do princípio de exclusão de Pauli). O potencial de Lennard-Jones (também referido como potencial L-J, potencial 6-12 ou, menos comumente, potencial 12-6) é um modelo matemático simples que representa este comportamento. Foi proposto em 1924 por John Lennard-Jones.[1]

Potencial de Lennard-Jones para dímero de argônio

O potencial L-J tem a forma


V(r) = 4\epsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right]

onde \, \epsilon é a profundidade do potencial e \, \sigma é a distância (finita) na qual o potencial interpartícula é zero.

Estes parâmetros podem ser ajustados para reproduzir dados experimentais ou podem ser deduzidos de resultados muito precisos de cálculos de química quântica. O termo


\left(\frac{1}{r}\right)^{12}
descrive a repulsão e o termo 
\left(\frac{1}{r}\right)^{6} 
descreve a atração.

A função que descreve a força à que estão sujeitas as partículas é o negativo do gradiente do potencial acima descrito

 \mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \epsilon \left( 12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{\mathbf{r}}

O potencial de Lennard-Jones é uma aproximação. A forma do termo que descreve a repulsão não tem nenhuma justificação teórica; a força repulsiva deve depender exponencialmente da distância, mas o termo da fórmula de L-J é mais conveniente devido à facilidade e eficiência de calcular r12 como o quadrado de r6. Sua origem física está relacionada ao princípio de exclusão de Pauli: quando duas nuvens eletrônicas circulando os átomos iniciam a se sobrepôr, a energia do sistema aumenta abruptamente. O exponente 12 foi eleito exclusivamente por sua facilidade de cálculo.

Formas alternativas[editar | editar código-fonte]

A função do potencial de Lennard-Jones comumente se escreve da seguinte forma:


V(r) = \epsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]

onde

\, r_{min} = \, 2^{1/6}\sigma é a distância na qual o potencial se encontra em um mínimo.

A formulação mais precisa, usada comumente por software de simulação, é:


V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}

onde

\, A = 4 \epsilon \sigma^{12}

\, B = 4 \epsilon \sigma^6

 \sigma = \left( \frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} }

e

\epsilon = \frac{B^2}{4 A}.

Simulação de Dinâmica Molecular: Potencial truncado[editar | editar código-fonte]

Em geral, para poupar tempo computacional, o potencial de Lennard-Jones é truncado na distância limite de \displaystyle r_c = 2.5 \sigma donde


   \displaystyle 
   V ( r_c )
   =
   V ( 2.5 \sigma )
   =
   4 \epsilon
   \left[
      \left(
         \frac
	 {\sigma}
	 {2.5 \sigma}
      \right)^{12}
      -
      \left(
         \frac
	 {\sigma}
	 {2.5 \sigma}
      \right)^6
   \right]
   =
   -0.0163 \epsilon
   =
   -
   \frac
   {1}
   {61.3}
   \epsilon

(1)

i.e., em \displaystyle r_c = 2.5 \sigma, o potencial LJ \displaystyle V é aproximadamente 1/60 de seu valor mínimo \displaystyle \epsilon (profundidade do potencial). Depois de \displaystyle r_c, se assinala o valor 0 ao potencial computacional.

Por outro lado, para evitar uma descontinuidade em \displaystyle r_c, como se mostra na equação 1, o potencial de LJ é desprezado ligeiramente até acima, de tal forma que o potencial computacional seja 0 exatamente na distância limite \displaystyle r_c.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Lennard-Jones, J. E. Cohesion. Proceedings of the Physical Society 1931, 43, 461-482.