Potencial newtoniano

Em matemática, o potencial newtoniano é um operador que age como uma espécie de inversa do operador $-\triangle\,$. Ou seja, se $f\,$ é um campo em $\mathbb{R}^n\,$, então o potencial newtoniano de $f\,$, $\mathcal{G}*f\,$ é definido como a solução $\phi\,$ do seguinte problema de Poisson:

$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle -\triangle \phi = f,~~~ x\in \mathbb{R}^n\\ \displaystyle\lim_{|x|\to\infty}|\phi(x)|/|x|^{3-n}=0 \end{array}\right.$

contanto que a solução exista.

Quando visto como um operador convolução, o núcleo newtoniano é dado pelo núcleo de Poisson:

$\mathcal{G}(x) = \left\{ \begin{matrix} c_1 \left| x \right| & : & d=1 \\ c_2 \log{ \left\| x \right\| } & : & d=2 \\ c_d \left\| x \right\| ^{2-d} & : & d>2 \end{matrix} \right.$

$c_d\,$ é um constante de normalização e é tal que:

$\int_{\mathbb{R}^d}\mathcal{G}(x) =1, d\geq 2$

Referências

• Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. Providence: [s.n.], 1998. ISBN 0-8218-0772-2.

Ver também

• Teoria do potencial
• Operador integral
• Equação de Poisson