Primorial

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Na matemática, o primorial de um número natural n maior que 1 é denotado por n\# e é definido como o produto de todos os números primos menores ou iguais a n. O primorial de 1 é definido como sendo igual à unidade.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • 1\#=1\,
  • 2\#=2\,
  • 3\#=2 \cdot 3=6\,
  • 4\#=2 \cdot 3=6\,
  • 5\#=2 \cdot 3 \cdot 5=30\,
  • 6\#=2 \cdot 3 \cdot 5=30\,
  • 7\#=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7=210\,

Tabela de primoriais[editar | editar código-fonte]

Eis uma tabela de primoriais. Veja também (sequência A002110 na OEIS).

p P(p)
2 2
3 6
5 30
7 210
11 2310
13 30030
17 510510
19 9699690
23 223092870
29 6469693230
31 200560490130
37 7420738134810
41 304250263527210
43 13082761331670030
47 614889782588491410
53 32589158477190044730
59 1922760350154212639070
61 117288381359406970983270
67 7858321551080267055879090
71 557940830126698960967415390
73 40729680599249024150621323470
79 3217644767340672907899084554130
83 267064515689275851355624017992790
89 23768741896345550770650537601358310

Estimativa de crescimento para o primorial[editar | editar código-fonte]

Para todo n\geq 1 \,, n\# < 4^n \, A demonstração se faz por indução matemática.

  • Base:
    • 1\#=1<4^1\,
    • 2\#=2<4^2\,
  • Indução
    • n>2\,, n é par:
n\#=(n-1)\#<2^{n-1}<2^{n}\,
    • n>2\,, n é ímpar, então escreve-se n=2m+1\,
\begin{align}
4^m
       &= \frac{1}{2}(1 + 1)^{2m + 1}
       = \frac{1}{2}\sum_{k = 0}^{2m+1} \binom{2m + 1}{k} \\
       &> \frac{1}{2} \Biggl(\binom{2m + 1}{m} + \binom{2m + 1}{m + 1}\Biggr)
       = \binom{2m + 1}{m}.
\end{align}

Como cada número primo p, m+1<p\leq 2m+1\, é divisor de \binom{2m+1}{m+1}\,, temos que:

\prod_{p > m + 1}^{p \leq 2m + 1} p \leq \binom{2m+1}{m} < 4^m.\

Agora, podemos estimar:

n\#=(2m+1)\#=(m+1)\# \prod_{p > m + 1}^{p \leq 2m + 1} p  < 4^{m+1}4^m=4^{2m+1}=4^n.\

E o resultado segue.

Ver também[editar | editar código-fonte]