Princípio da Escolha Dependente

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Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio A e uma relação binária R\subseteq A\times A sobre A que satisfaz a condição de que para todo x\in A existe y\in A para o qual \langle x,y \rangle\in R, existe uma seqüência \langle x_{n}\rangle _{n\in\omega} de elementos de A tal que \langle x_i, x_{i+1}\rangle\in R para todo i\in\omega. Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos

\forall A \left( (\exists R \left(R\subseteq A\times A \wedge \forall x (x\in A \rightarrow \exists y(y\in A \wedge \langle x,y\rangle\in R))\right)\rightarrow \exists \langle x_{n}\rangle _{n\in\omega} (\forall i(i\in\omega\rightarrow \langle x_i, x_{i+1}\rangle\in R))) \right)

Alguns Resultados Relevantes[editar | editar código-fonte]

O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja  A um conjunto não-vazio e R\subseteq A\times A uma relação binária sobre  A satisfazendo

\forall x (x\in A \rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y \rangle\in R)).

Dado  x\in A, defina  r(x) = \{y\in A : \langle x,y \rangle\in R\} ; da hipótese, temos  r(x)\neq\emptyset . Tome a família  \langle r(x) \rangle _{x\in A}, admitindo o axioma da escolha, existe uma função

 f: A\to \bigcup_{x\in A} r(x)

satisfazendo  f(x)\in r(x) para cada x\in A. É evidente, portanto, que \langle f^{n}(x)\rangle _{n\in\omega} satisfaz  \langle f^{i}(x), f^{i+1}(x)\rangle \in R para todo  i\in\omega e todo x\in A.

Porém, DC não implica o axioma da escolha[1] , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC_{\omega}; com efeito seja \langle A_n\rangle _{n\in\omega} uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina

 S_n = \{s\in (\bigcup_{k=0}^{n} A_k)^{n} : \pi_{i}(s)\in A_i,\forall i\leq n\}

Onde  \pi_i é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também

 S = \bigcup_{n\in\omega} S_n

Assim, seja  R\subseteq S\times S tal que, dados s,t\in S , \langle s,t \rangle \in R se, e somente se, existir n\in\omega para o qual tenhamos s\in S_n, t\in S_{n+1} e \pi_{i}(s) = \pi_{i}(t) para todo i\leq n, isto é

\forall s\forall t ( ( (s\in S)\wedge (t\in S) )\rightarrow ( \langle s,t \rangle \in R \leftrightarrow \exists n ( (n\in\omega)\wedge (s\in S_{n}) \wedge (t\in S_{n+1})\wedge (\forall i(i\in n\cup \{n\} \rightarrow (\pi_{i}(s) = \pi_{i}(t)\,) ) ) ) ) ).

É evidente que  R satisfaz

\forall x (x\in S\rightarrow \exists y(y\in S \wedge \langle x,y\rangle\in R)).

Portanto, existe uma seqüência  \langle s_n\rangle_{n\in\omega} tal que

 \langle s_i,s_{i+1}\rangle\in R

para todo natural i. Basta agora definir  f:\omega \to \bigcup A_n por  f(i) = \pi_{i}(s_i) . É evidente que f é uma função escolha em \langle A_n\rangle _{n\in\omega}.

Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire [2] . De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 [3] que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é

ZF+DC\leftrightarrow ZF+(\text{Teorema de Baire}).

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  1. Thomas Jech, The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN-13: 978-0486466248.
  2. Ambos não prováveis em ZF; ver Consequences of the Axiom of Choice, forma 78.
  3. Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933--934.


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