Princípio da resolução

O princípio da resolução é uma regra de inferência que dá origem a uma técnica de demonstração por refutação para sentenças e inferências da lógica proposicional e da lógica de primeira ordem.

A resolução na lógica proposicional

Regra de resolução

O sistema dedutivo de resolução na lógica proposicional não possui axiomas, mas apenas uma regra de inferência que produz, a partir de duas cláusulas, uma nova cláusula implicada por elas. A regra de resolução toma duas cláusulas contendo literais complementares e produz uma nova cláusula com todos os literais de ambos, excluídos estes complementares. Formalmente, onde $a_{i}$ e $b_{j}$ são literais complementares:

$${\frac {a_{1}\lor \ldots \vee a_{i-1}\vee a_{i}\vee a_{i+1}\vee \ldots \lor a_{n},\quad b_{1}\lor \ldots \vee b_{j-1}\vee b_{j}\vee b_{j+1}\vee \ldots \lor b_{m}}{a_{1}\lor \ldots \lor a_{i-1}\lor a_{i+1}\lor \ldots \lor a_{n}\lor b_{1}\lor \ldots \lor b_{j-1}\lor b_{j+1}\lor \ldots \lor b_{m}}}$$

A cláusula produzida pela regra de resolução é chamada de resolvente das duas cláusulas iniciais.

Quando as duas cláusulas contêm mais de um par de literais complementares, a regra de resolução pode ser aplicada (independentemente) para cada par. Entretanto, apenas o par de literais resolvidos pode ser removido: todos os outros pares de literais permanecem na cláusula resolvente.

Uma técnica de resolução

Quando usada em conjunto com um algoritmo de busca, a regra de resolução ganha poder e utiliza o algoritmo de busca para decidir a satisfatibilidade de uma fórmula proposicional e a validade da sentença sob um conjunto de axiomas.

Esta técnica de resolução usa prova por contradição e é baseada no fato de que qualquer sentença da lógica proposicional pode ser convertida para uma sentença equivalente na forma normal conjuntiva. Os passos são os seguintes:

• Todas as premissas e a negação da sentença a ser provada (conjectura) tem que estar conectadas por conjunções.
• A sentença resultante é convertida para a forma normal conjuntiva (tratada como um conjunto de cláusulas, S).
• A regra de resolução é aplicada a todos os possíveis pares de cláusulas que contém literais complementares. Após cada aplicação da regra de resolução, a cláusula resultante é simplificada removendo-se os literais repetidos. Se a cláusula contém literais complementares, ela é descartada (como uma tautologia). Caso contrário, e se ela ainda não está presente no conjunto de cláusulas S, então ela é adicionada a S, e é considerada para posteriores inferências da resolução.
• Se depois de aplicar a regra de resolução uma cláusula vazia é derivada, a formula inteira não é satisfeita (ou contraditória), então é possível concluir que a conjectura inicial provém das premissas originais.
• Se, por outro lado, a cláusula vazia não pode ser derivada, e a regra de resolução não pode ser aplicada para derivar mais cláusulas, a conjectura não é um teorema da base de conhecimentos original.

Outra instância deste algoritmo é o algoritmo de Davis-Putnam original, que foi mais tarde refinado para o algoritmo DPLL, que removeu a necessidade de uma representação explícita dos resolventes.

Como exemplo do algoritmo acima, considere a seguinte fórmula:

$\neg p\wedge (q\vee r\vee q)\wedge (\neg r\vee \neg s)\wedge (p\vee s)\wedge (\neg q\vee \neg s)$

Que pode ser vista como um conjunto de cláusulas:

$\{\{\neg p\},\{q,r\},\{\neg r,\neg s\},\{p,s\},\{\neg q,\neg s\}\}$

Seja $C$ um conjunto de cláusulas e representamos por $\bot$ a cláusula vazia, $\{\}$. Aplica-se então a regra de inferência:

• ${\frac {\{C,p\}\quad \{C',\neg p\}}{\{C,C'\}}}$

Aplicando a regra no conjunto de cláusulas do exemplo acima:

Foi possível então a dedução da cláusula vazia a partir do conjunto inicial de cláusulas.

A resolução na lógica de primeira ordem

A resolução na Lógica de primeira ordem condensa os silogismos tradicionais de inferência lógica em uma única regra. Para entender como a resolução funciona, considere o seguinte exemplo de silogismo da lógica aristotélica:

Todos os gregos são europeus.
Homero é grego.
Então, Homero é europeu.

Ou de maneira mais geral:

$\forall$X.(P(X) implica Q(X)).
P(a).
Então, Q(a).

Para traçar o raciocínio usado na técnica de resolução, primeiro as cláusulas devem ser convertidas para a forma normal conjuntiva. Nessa forma, todas as quantificações se tornam implícitas: quantificadores universais em variáveis (X, Y...) são simplesmente omitidos quando subentendidos, enquanto variáveis em quantificadores existenciais são substituídas por funções de Skolem.

$\neg$P(X) $\vee$ Q(X)
P(a) 
Então, Q(a)

Então a questão é, como a técnica de resolução deriva a última cláusula a partir das duas primeiras? A regra é simples:

• Encontre duas cláusulas contendo o mesmo predicado, onde uma cláusula é negada e a outra não.
• Faça a unificação em ambos os predicados. (Se a unificação falhar, então você fez uma má escolha de predicados. Volte para o passo anterior e tente novamente.)
• Se, após a unificação, alguma variável não-ligada que foi ligada nos predicados unificados também ocorre em outros predicados nas duas cláusulas, então substitua pelos seus respectivos termos ligados.
• Descarte os predicados unificados, e combine o restante das duas cláusulas em uma nova cláusula.

Para aplicar essa regra no exemplo acima, nós encontramos o predicado ‘P’ na forma negada na primeira cláusula:

$\neg$P(X)

E em forma não negada na segunda cláusula:

P(a)

X é uma variável livre, enquanto a é um átomo. Unificando os dois obtemos a substituição:

$\sigma$ = [(a,X)]

Descartando os predicados unificados, e aplicando a substituição dos predicados restantes (apenas Q(X), nesse caso), obtemos a conclusão:

Q(a)

Para um outro exemplo, considere a forma silogística:

Todos os políticos são corruptos.
Todos os corruptos são mentirosos.
Então todos os políticos são mentirosos.

Ou de maneira mais geral:

$\forall$X P(X) implica Q(X)
$\forall$X Q(X) implica R(X)
Então, $\forall$X P(X) implica R(X)

Na FNC (Forma Normal Conjuntiva):

$\neg$P(X) $\vee$ Q(X)
$\neg$Q(Y) $\vee$ R(Y)

(Note que a variável na segunda cláusula foi renomeada para deixar claro que variáveis em cláusulas diferentes são distintas)

Agora, unificando Q(X) na primeira cláusula com Q(Y) na segunda cláusula temos que X e Y se tornam a mesma variável. Efetuando esta substituição nas cláusulas restantes e combinando-as, temos a conclusão:

$\neg$P(X) $\vee$ R(X)

Mais exemplos

Lógica Proposicional

Exemplo 1

Socrátes e Platão

• Sócrates está em tal situação que ele estaria disposto a visitar Platão (S), só se Platão estivesse disposto a visitá-lo (P);

$(P\rightarrow S)$

• Platão está em tal situação que ele não estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates estivesse disposto a visitá-lo;

$(S\rightarrow \neg P)$

• Platão está em tal situação que ele estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não estivesse disposto a visitá-lo.

$(\neg S\rightarrow P)$

• Pergunta-se:

Sócrates está disposto a visitar Platão ou não?

$(P\rightarrow S),(S\rightarrow \neg P),(\neg S\rightarrow P)\models S$

Transformação de $(P\rightarrow S)\wedge (S\rightarrow \neg P)\wedge (\neg S\rightarrow P)$ para a forma conjuntiva:

$P\rightarrow S\quad \equiv \quad \neg P\vee S$

$S\rightarrow \neg P\quad \equiv \quad \neg S\vee \neg P$

$\neg S\rightarrow P\quad \equiv \quad S\vee P$

Temos então o seguinte conjunto de cláusulas:

$\{\{\neg P,S\},\{\neg S,\neg P\},\{S,P\},\{\neg S\}\}$

Resolução:

${\frac {\{\neg S\}\qquad \{S,P\}}{\{P\}}}$

${\frac {\{\neg S\}\qquad \{\neg P,S\}}{\{\neg P\}}}$

${\frac {\{P\}\qquad \{\neg P\}}{\bot }}$

Portanto concluímos que Sócrates está disposto a visitar Platão.

Exemplo 2

Ana

• Se Anelise não for cantora (P) ou Anamélia for pianista(Q), então Anaís será professora (R).

$((\neg P\vee Q)\rightarrow R)$

• Se Ana for atleta (S), então Anamélia será pianista (Q).

$(S\rightarrow Q)$

• Se Anelise for cantora (P), então Ana será atleta (S).

$(P\rightarrow S)$

• Anamélia não será pianista (Q).

$(\neg Q)$

É possível concluir que Anaís é professora (R)?

$(\neg P\vee Q)\rightarrow R,S\rightarrow Q,P\rightarrow S,\neg Q\models R$

Transformação do conjunto de premissas para a forma conjuntiva:

$\neg P\vee Q\rightarrow R$
$\equiv \neg (\neg P\vee Q)\vee R$
$\equiv (\neg \neg P\wedge \neg Q)\vee R$
$\equiv (P\wedge \neg Q)\vee R$
$\equiv (P\vee R)\wedge (\neg Q\vee R)$

$S\rightarrow Q\quad \equiv \quad \neg S\vee Q$

$P\rightarrow S\quad \equiv \quad \neg P\vee S$

Temos então o seguinte conjunto de cláusulas:

$\{\{P,R\},\{\neg Q,R\},\{\neg S,Q\},\{\neg P,S\},\{\neg Q\},\{\neg R\}\}$

Resolução:

${\frac {\{\neg R\}\quad \{P,R\}}{\{P\}}}$

${\frac {\{P\}\quad \{\neg P,S\}}{\{S\}}}$

${\frac {\{S\}\quad \{\neg S,Q\}}{\{Q\}}}$

${\frac {\{Q\}\quad \{\neg Q\}}{\bot }}$

Concluimos, portanto, que Anaís é Professora.

Lógica de Primeira Ordem

Exemplo 1

Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio?

U = pessoas
I[q(x)] = T sse x é sábio
I[p(x)] = T sse x é tucana
I[a] = Zé

O que quero provar?? Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio?

$(\forall x(p(x)\vee q(x))\wedge \neg p(a))\rightarrow q(a)$

Por refutação:

$$\neg (((\forall x(p(x)\vee q(x))\wedge \neg p(a))\rightarrow q(a))$$
$$\equiv \neg (\neg ((\forall x(p(x)\vee q(x))\wedge \neg p(a))\vee q(a))$$
$$\equiv (\forall x(p(x)\vee q(x))\wedge \neg p(a))\wedge \neg q(a)$$
$$\equiv \forall x(p(x)\vee q(x))\wedge \neg p(a)\wedge \neg q(a)$$

Eliminamos o quantificador universal:

$(p(x)\vee q(x))\wedge \neg p(a)\wedge \neg q(a)$

Como é possível notar, a sentença já se encontra na forma normal clausal.

• Nota: A forma normal clausal é simplesmente o nome que recebe a forma normal

conjuntiva após passar pelo processo de conversão, skolemização e reorganização típicos da lógica de primeira ordem.

Temos então o conjunto de cláusulas:

$\{\{p(x),q(x)\},\{\neg p(a)\},\{\neg q(a)\}\}$

Agora aplicamos a resolução:

${\frac {\{p(x),q(x)\}\quad \{\neg p(a)\}}{\{q(a)\}}}$ 
com $\sigma$1=[(x,a)]

${\frac {\{\neg q(a)\}\quad \{q(a)\}}{\bot }}$
com $\sigma$2=[(x,a)]

Chegamos então a uma cláusula vazia. Portanto, concluímos que se Zé não é Tucano então Zé é sábio.

Exemplo 2

Agora um exemplo mais direto e detalhado:

Seja a fórmula:

$P(x)\rightarrow \exists .P(x)$

Vamos mostrar que existe uma refutação da negação desta fórmula:

Passo 1: Negar a fórmula

$\neg (P(x)\rightarrow \exists .P(x))$

Passo 2: Forma normal prenex

$\forall y.\neg (P(x)\rightarrow P(y))$

Passo 3: Fechar existencialmente da Fórmula

$\exists x.\forall y.\neg (P(x)\rightarrow P(y))$

Passo 4: Skolemizar

$\forall y.(P(a)\rightarrow P(y))$

Passo 5: Eliminação de quantificadores universais

$P(a)\rightarrow P(y)$

Passo 6: Forma normal conjuntiva

$\neg (P(a)\rightarrow P(y))$
$\equiv \neg (\neg P(a)\vee P(y))$
$\equiv \neg \neg P(a)\wedge \neg P(y)$
$\equiv P(a)\wedge \neg P(y)$

Passo 7: Notação Clausal

$\{\{P(a)\},\{\neg P(y)\}\}$

Passo 8: Resolução

${\frac {\{P(a)\}\quad \{\neg P(a)\}}{\bot }}\qquad$ com $\sigma$0 = [(a, y)]

Referências

• J. Alan Robinson (1965), A machine-oriented logic based on the resolution principle. Journal of the ACM, Volume 12, Issue 1, pp. 23–41.

Ver também

• Unificação
• Universo de Herbrand
• Skolemização
• Lógica de primeira ordem
• Lógica proposicional
• Forma normal clausal

Ligações externas

• Resolution Principle at MathWorld