Princípio de Fermat

O Princípio de Fermat, em ótica é um princípio do tipo extremo e estabelece que:

A trajetória percorrida pela luz ao se propagar de um ponto a outro é tal que o tempo gasto em percorrer-la é um mínimo.

Dos três feixes de luz que emergem do ponto roxo apenas os que chegarem ao caminho óptico extremo(máximo ou mínimo) serão caminhos reais de luz.

Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, mas existe uma forma moderna do Princípio de Fermat que diz:

A trajetória percorrida pela luz ao propagar-se de um ponto a outro é tal que o tempo gasto para percorrer-la é estacionário a respeito das possíveis variações de trajetória.

Isso que dizer que, se expressarmos o trajeto percorrido pela luz entre dois pontos $0_1$ e $0_2$ por meio de uma função chamada caminho ótico definida como $\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]$ a trajetória real da luz seguirá um caminho extremo a respeito desta função:

$\delta\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]=\delta\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})ds}= 0.$

A característica importante como diz o enunciado, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos aproximadamente iguais. Desta forma, o Princípio de Fermat lembra o Princípio de Hamilton e as Equações de Euler-Lagrange.

Vejamos alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da Ótica Geométrica.

Equação da trajetória de um raio luminoso

A equação da trajetória de um raio luminoso real em um sistema ótico é:

$\vec\nabla n(\vec{r})-\frac{d}{ds}\left [ n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ] =0$

e se deduz a partir do Princípio de Fermat. Predefinição:Demonstração

A interpretação da equação é importante. A trajetória permanece no plano e ele que varia o índice de refração $n(\vec r)$. Isso pode ser observado escrevendo a equação em termos dos vetores unitários $\hat u_t$ e $\hat u_n$:

$\vec\nabla n(\vec{r})=\frac{d}{ds}\left [ n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ] =\frac{dn(\vec{r})}{ds}\frac{d\vec r}{ds}+n(\vec{r})\frac{d^2\vec r}{ds^2}=\frac{dn(\vec{r})}{ds}\hat u_t+\frac{n (\vec r)}{\rho (\vec r)}\hat u_n$

sendo $\rho$ o raio da circunferência osculatriz no ponto $\vec r$ à trajetória.

Lei da reflexão

Ver artigo principal: lei de Snell

Se supormos que um raio de luz sai do ponto A em direção à uma superfície plana, que suponhamos seja refletora, e viaja até um ponto B. Qual será a trajetória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo meio, com o mesmo índice de refração e, portanto, com a mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no meio. Como a velocidade é uma constante, a trajetória real, segue o Princípio de Fermat, será a mais curta.

Lei da refração

Ver artigo principal: lei de Snell

O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas.

Com o Princípio de Fermat se pode deduzir a Lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.

$n_1\ \sin{\alpha_1} = n_2\ \sin{\alpha_2}$

Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:

Seja um meio de propagação com índice de refração $n_1\$ e um segundo meio de propagação com índice de refração $n_2\$ tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.

Sejam $A = (x_A ,\; y_A )$ e $B = (x_B ,\; y_B )$ dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.

Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto $P = (x,\; 0 )$.

O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer $\overline{AP}$ e $\overline{PB}$.

Sejam $v_1$ e $v_2$ as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.

$t_1 = \frac{\overline{AP}}{v_1} = \frac{\sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}}{v_1}$; $t_2 = \frac{\overline{PB}}{v_2} = \frac{\sqrt{(x - x_B)^2\ + {y_B}^2}}{v_2}$

$t = \frac{\sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(x - x_B)^2\ + {y_B}^2}}{v_2}$

Se buscarmos o valor de $x\$ quando $t\$ é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de $x\$ para o qual a função derivada de $t\$ assume valor 0.

$\frac{dt}{dx} = - \frac{x_A\ - x}{v_1\ \sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}} + \frac{x - x_B\ }{v_2\ \sqrt{(x - x_B\ )^2\ + {y_B}^2}} = 0$

$\frac{x_A\ - x}{v_1\ \sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}} = \frac{x_B - x\ }{v_2\ \sqrt{(x - x_B\ )^2\ + {y_B}^2}}$

$\frac{x_A\ - x}{v_1\ \overline{AP}} = \frac{x_B - x\ }{v_2\ \overline{PB}}$

$\frac{1}{v_1\ } \sin{\alpha_1} = \frac{1}{v_2\ } \sin{\alpha_2}$

$\frac{c}{v_1\ } \sin{\alpha_1} = \frac{c}{v_2\ } \sin{\alpha_2}$

$n_1\ \sin{\alpha_1} = n_2\ \sin{\alpha_2}$

Bibliografia

• Explicações sobre o princípio de Fermat e suas aplicações podem ser encontradas em "Feynman, Richard. The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1".
• Florian Scheck: Theoretische Physik 3. Klassische Feldtheorie. ISBN 3540422765 (Kapitel 4.4 Geometrische Optik, 4.4.3 Medien mit negativem Brechungsindex). 
• Roger Erb: Geometrische Optik mit dem Fermat-Prinzip. In: Physik in der Schule. 30, Nr. 9, 1992, S. 291–295.
• Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, 1904 online
• Ariel Lipson, Stephen G. Lipson, Henry Lipson, Optical Physics 4th Edition, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49345-1