Principia mathematica

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Página de rosto da versão resumida de Principia mathematica to *56.

O Principia mathematica (tradução livre do latim: Princípios matemáticos) é uma obra de três volumes sobre fundamentos da matemática, escrita por Alfred North Whitehead e Bertrand Russell e publicada nos anos de 1910, 1912 e 1913. Em 1927 foram acrescentados uma Introdução à Segunda Edição, um Apêndice A (que substituiu o ✸9) e um novo Apêndice C.

O Principia é considerado pelos especialistas como um dos mais importantes trabalhos sobre a interdisciplinaridade entre matemática, lógica e filosofia, com dimensão comparável ao Organon de Aristoteles. Permanece até hoje considerado um dos mais importantes livros em filosofia da matemática escritos em toda a História.[1] A Modern Library colocou-o no 23º de uma lista dos cem mais importantes livros em inglês de não ficção do século XX.[2]

Esse compêndio é uma tentativa de concluir todas as verdades matemáticas baseando-se num rol extremamente bem definido de axiomas e regras de dedução, usando uma linguagem lógico-simbólica própria. Uma das motivações iniciais do Principia foi um trabalho anterior de Frege, que levava a paradoxos que vieram a ser desvendados por Russell. Tais paradoxos foram sanados com a elaboração da teoria dos tipos lógicos: um conjunto de elementos é diferente de cada um de seus elementos (ou, alternativamente, "um conjunto não é um elemento, um elemento não é um conjunto"). Assim, não se pode conceber que um conjunto pertença a si próprio, o que leva ao citado paradoxo (um conjunto definido por aquele que agrega todos os conjuntos que não pertencem a si próprios pertenceria a si próprio? A resposta afirmativa levaria à negativa e vice-versa).

Abrangência, subdivisões e construção inicial da teoria[editar | editar código-fonte]

Divisão Maior[editar | editar código-fonte]

O Principia abarca a teoria dos conjuntos, os números cardinais, números ordinais e os números reais. Teoremas mais avançados da análise real não foram incluídos. Um quarto volume com fundamentos da geometria foi planejado, mas os autores chegaram à completa exaustão intelectual após o terceiro.

Edição Resumida[editar | editar código-fonte]

A edição que vai até o item 56, publicada em primeira edição, pela mesma editora, em 1910 e, em segunda edição, em 1927, com dezenas de tiragens, consiste num extrato da parte mais textual e inicial do compêndio, com vistas a uma divulgação científica intermediária entre a obra completa e a Introdução à Filosofia Matemática, de Russell.

Esta edição apresenta as seguintes seções:

  • Teoria da dedução
  • Teoria das variáveis aparentes
  • Classes e relações
  • Lógica das relações
  • Produtos e somas de classes
  • Introdução à aritmética cardinal - classes unitárias e pares

Proposta[editar | editar código-fonte]

O prefácio da edição resumida inicia-se com a proposta da obra: "O tratamento matemático dos princípios da matemática, o qual é objeto do presente trabalho, foi erguido pela junção de dois diferentes estudos, ambos na atual modernidade. De um lado, temos o trabalho de analistas e geômetras, em formular e sistematizar seus axiomas, e o trabalho de Cantor em assuntos tais como a teoria dos agregados. De outro lado, temos a lógica simbólica, a qual, após um período de desenvolvimento, hoje, graças a Peano e seus seguidores, já adquiriu adaptabilidade técnica e abrangência que são essenciais a um instrumento que lide com o que tenha até agora sido considerado o início da matemática(...)"

Relevância[editar | editar código-fonte]

  • "Tal como acontece com a teoria da Relatividade de Einstein, afirma-se que Principia Mathematica só foi totalmente compreendida por um número muito limitado de pessoas. Russell, numa carta a duas senhoras que lhe escreveram a dizer o quanto tinham apreciado o livro, declarou peremptoriamente: Não acredito que tenham lido Principia Mathematica. Até agora só tive conhecimento de seis pessoas que o leram todo, três polacos que foram mortos por Hitler, e três americanos do Texas que foram absorvidos por osmose e se diluíram na grande massa do povo (...) Da mesma forma que Russell queria usar a lógica para clarificar conceitos da Matemática, também queria usá-la para clarificar conceitos em Filosofia. Como um dos fundadores da filosofia analítica, Russell é lembrado pelo trabalho em que usa a lógica de primeira ordem e por seu empenho na importância da forma lógica para a resolução de muitos problemas filosóficos. Aqui, tal como na Matemática, a sua esperança era que aplicando maquinaria lógica, pudéssemos ser capazes de resolver grandes dificuldades"[3]

A construção da teoria do Principia[editar | editar código-fonte]

Valores-verdade[editar | editar código-fonte]

O Principia considera embutidas as noções de verdade e falsidade dentro daquela da proposição primitiva. Uma teoria formalista pura não deve, segundo o raciocínio lá contido, definir o sentido dos símbolos que formam uma proposição primitiva; os símbolos por si mesmos podem absolutamente ser arbitrários e desconhecidos. A teoria deve especificar apenas "como os símbolos se comportam baseados na grámática da teoria". Então, após, por "atribuição de valores", uma teoria-modelo especificaria uma interpretação do que as fórmulas estariam a dizer.

A teoria formalística atual[editar | editar código-fonte]

A seguinte teoria formalística é apresentada, segundo as fontes de pesquisa, em contraste à simbologia do Principia:

  • Símbolos usados: Este é o conjunto inicial e outros símbolos podem aparecer, mas apenas por "definição" a partir dos símbolos iniciais. Um conjunto inicial deve ser o seguinte, obtido através de Kleene, 1952: implicação, e, ou, não, "para todo", "existe", igual, soma, multiplicação, sucessão, zero, variáveis e parênteses[nota 1] .
  • Sequências de símbolos: A teoria deve construir sequências daqueles símbolos por concatenação (justaposição)[4] .
  • Regras de formação: A teoria especifica regras de sintaxe ou gramática, como definição recursiva que começa com o zero e especifica como construir sequências aceitáveis de "fórmulas bem construídas"[5] Esta regra inclui a substituição[nota 2] de sequências de símbolos chamados "variáveis" (como contraposição à noção de símbolos que representam tipos).
  • Regras de transformação: Os axiomas que especificam o comportamento dos símbolos e sequências de símbolos.
  • Regra de dedução: A regra que determina que a teoria "deduza" uma "conclusão" a partir de uma "premissa".

Importância e linguagem[editar | editar código-fonte]

Dentre as noções que trazem à tona a importância da obra, destacam-se:

  • Uma nova forma de relacionar a lógica matemática com as ciências naturais[6] .
  • Atuação, com sua notação de linguagem, como precursor da ciência da computação ou tecnologia da informação[7] .
  • Apressar o desenvolvimento da lógica matemática e isolá-la de discussões entre correntes filosóficas [8] .

Consistência e críticas[editar | editar código-fonte]

De acordo com a obra "Fundamentos Lógicos da Matemática", de Carnap, Russell objetivava uma obra que tivesse completude na relação entre as verdades deduzidas e as premissas. Entretanto, O Principia teve de incluir, além dos axiomas básicos da teoria dos tipos, três axiomas adicionais que não são intuitivos, a saber, o axioma da infinidade, o axioma da escolha, e o axioma da redutibilidade. Frank P. Ramsey, baseando-se nesta extensão, tentou argumentar que isto seria desnecessário, mas tais argumentos não foram confirmados conclusivamente em obras posteriores. Além da questão dos axiomas como verdades lógicas, as seguintes questões ainda foram objeto de controvérsia, neste rápido debate. Em primeiro, se uma contradição poderia ser concluída a partir dos axiomas do Principia (a questão da inconsistência); em segundo, se existe uma proposição matemática que não pode ser provada e nem sua negativa pode ser provada (a questão da completude).

Gödel 1930, 1931[editar | editar código-fonte]

In 1930, o teorema da completude de Gödel mostrou que a lógica proposicional é completa num sentido mais fraco— ou seja, qualquer afirmação não provável a partir de um dado conjunto de axiomas deve realmente ser falsa de acordo com a teoria dos modelos dos axiomas. Entretanto, este não é o mais pleno senso de completude desejado pelo Principia, já que um dado sistema de axiomas (como os do Principia) pode ter mais de um modelo, em algum dos quais uma afirmação pode ser verdadeira e, no outro modelo, falsa, de modo que a afirmação é tida como não decidida por axiomas. O teorema da completude de Gödel levou foco a duas inesperadas questões a ele relacionadas. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostrou que o Principia não pode ser ao mesmo tempo consistente e completo. De acordo com o teorema, para cada sistema lógico suficientemente forte, existe uma proposição que não pode ser provada. Este teorema mostra que nenhum sistema formal, estendendo a aritmética básica, pode ser usado para provar sua própria consistência.

Wittgenstein 1919, 1939[editar | editar código-fonte]

Por ocasião da segunda edição do Principia, Russell eliminou seu "axioma da redutibilidade" a um novo axioma, embora isto não fique claro na edição. Gödel,1944:126 o descreve assim: "Esta mudança conectou a idéia de que funções podem ocorrer em prposições apenas através de seus valores" (principia, Segunda Edição p. 401, Apêndice C). Esta nova proposta resultou em um terrível resultado, a idéia de que uma lista infinita não pode ser especificada significa que o conceito de "número" no sentido infinito (ou seja, a hipótese do continuum) não pode ser descrita pela teoria proposta na segunda edição do Principia. Wittgenstein, no seu "Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge, 1939", criticou o Principia em vários níveis, como estes dois raciocínios seguintes. Em primeiro, pretende-se revelar as bases da aritmética. Entretanto, nossa aritmética "prática", que inclui noções como "contagem", discrepa das bases supostamente constantes no Principia. Esta discrepância, segundo este autor, deve ser tratada como um erro na abordagem do Principia e não na visão intuitiva, que seria a "fundamental". Em segundo, os métodos de cálculo esposados só podem ser usados na prática com números muito pequenos. Para calcular com grandes números, como por exemplo, bilhões, as fórmulas tornar-se-iam muito longas e algum método de redução deveria ser usado e basear-se em técnicas do "dia-a-dia", como a contagem ou métodos como a indução, que o autor citado considera "não fundamental". Wittgenstein, apesar de tudo, considera o Principia uma obra que desvenda muitos aspectos da aritmética básica.

Gödel 1944[editar | editar código-fonte]

No seu "Russell's mathematical logic", 1944, Gödel Faz uma "discussão crítica porém simpática sobre a ordem lógica das idéias"[9] :

"Não deve ser obliterado que a primeira apresentação completa da lógica matemática e a derivação da matemática a partir daquela é deficiente na precisão formal dos fundamentos (contidos no Principia *1- *21), representando um passo atrás de Frege. O que falta, sobretudo, é um tratamento preciso da sintaxe do formalismo. Considerações sintáticas são omitidas até mesmo em casos nos quais estas são necessárias para a aceitação da verdade das provas. (...) O assunto e especialmente duvidoso no que tange à regra de substituição e na troca dos simbolos definidos pelos seus definidores (...) É principalmente a regra de substituição o que deve ser provado" [10] [nota 3] ).

Notas

  1. Este conjunto é obtido de Kleene
  2. Esta palavra é usada por Kleene, 1952:78
  3. Citando "Russell's mathematical logic", de Kurt Gödel (1944)

Referências

  1. Irvine, A.D. Principia Mathematica (em inglês). Visitado em 14/10/2011.
  2. The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century (em inglês) The New York Times Company (30 de abril de 1999). Visitado em 14/10/2011.
  3. Universidade de Lisboa, 2011, em
  4. Kleene, 1952:71, Enderton, 2001:15
  5. Enderton, 2001:16
  6. Silva, Antônio Rogério da. Racionalismo e Empirismo (em português). Visitado em 14/10/2011.
  7. Chagas, Elza Figueiredo. O Envolvimento da Matemática com a Criação dos Computadores: Um Caso de Estudo da Lógica Matemática à Máquina Universal de Turing (em português) Faculdades Integradas de Palmas - PR - Departamento de Informática. Visitado em 14/10/2011.
  8. Bochensky, 1962
  9. Kleene, 1952:46
  10. Feferman, 120

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Nota[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]