Probabilidade condicionada

Na matemática, a probabilidade condicionada refere-se à probabilidade de um evento A sabendo que ocorreu um outro evento B e representa-se por P(A|B), lida "probabilidade condicional de A dado B" ou ainda "probabilidade de A dependente da condição B".

Definição

A probabilidade de A condicionada por B (ou dado B, ou sabendo que B) é definida por:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

dado ${P(B)}>0$

Assim, a probabilidade de A muda após o evento B ter acontecido. Isso porque o resultado de A é uma das possibilidades de B. Precisamos calcular os eventos que são comuns a B e também a A, ou seja $A \cap B$.

Exemplo

Considere-se um baralho de 52 cartas. A probabilidade de ao retirar uma carta sair um rei é 4/52, ou 1/13. No entanto, se alguém retira uma carta e nos diz que é uma figura, então a probabilidade de ter saído um rei é 4/12=1/3, ou seja, P(sair um rei|sair uma figura)=1/3.

Acontecimentos independentes

Dois acontecimentos dizem-se independentes se $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Isto significa que $P(A \mid B)=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A)$, ou seja, que a ocorrência de B não tem qualquer efeito sobre a probabilidade de acontecer A.

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes relaciona as probabilidade de A e B com as respectivas probabilidades condicionadas mútuas. Este teorema afirma que:

$P(B \mid A)= P(A \mid B) \cdot \frac{P(B)}{P(A)}.$

Falácia da probabilidade condicionada

A falácia da probabilidade condicionada consiste em supor que P(A|B) é igual a P(B|A). No entanto, pelo teorema de Bayes, estas probabilidades condicionadas só são iguais se A e B tiverem a mesma probabilidade.