Problema de Basileia

O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735. Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito.

O problema de Basileia consiste em encontrar a soma exata dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos, isto é, a soma exata da série infinita:

$\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right)$

A prova de Euler

A prova formulada por Euler parte da série de Taylor para a função seno, ou seja

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.$

que conduz à fórmula

$\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots.$ (1)

Para um polinômio geral de grau n, $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^{n}x, a_n=1$ em que $x_0, x_1, \cdots, x_n$ são n raízes de $p(x)$, vale a seguinte decomposição:

$p(x)=\left(1 - \frac{x}{x_1}\right)\left(1 - \frac{x}{x_2}\right)\left(1 - \frac{x}{x_2}\right)\left(1 - \frac{x}{x_3}\right)\left(1 - \frac{x}{x_4}\right)\left(1 - \frac{x}{x_5}\right) \cdots$

Visto que as raízes de sen(x)/x ocorrem exatamente quando $x = n\cdot\pi$ em que$n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots\,$, Euler assumiu que pode-se expressar a série infinita em questão como o produto das diversas raízes, tal como um polinômio finito, i.e.:

$\begin{align} p(x)=\frac{\sin(x)}{x} & {} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\ & {} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots. \end{align}$

Desenvolvendo-se o produto, obtém-se:

$p(x)=1-\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+\cdots \right)x^2+\cdots$

comparando-se esta igualdade com a expressão (1), contata-se, pelos termos que acompanham o $x^2$, que

$-\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+\cdots \right)$

Evidenciando-se o $\frac{1}{\pi^2}$, segue que

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$

c.q.d..

Crítica à demonstração de Euler

Nos dias atuais, a prova apresentada por Euler não seria considerada válida; não há dúvidas, todavia, de que o resultado está correto. A crítica que se faz fundamenta-se no argumento de que séries de potências não são polinômios, e, portanto, não compartilham todas as suas propriedades, não sendo válida, pois, a utilização da decomposição apresentada. Genericamente, de fato, não é válida; na função sen(x)/x, contudo, ela funciona, visto que outras demonstrações mais minuciosas conduzem ao mesmo resultado. Faltou a Euler, em seu tempo, uma abordagem mais elaborada da Análise utilizando quantidades infinitas e infinitesimais.