Problema de Dirichlet

Em matemática, um problema de Dirichlet é o problema de encontar-se uma função a qual resolva uma equação diferencial parcial (EDP) específica no interior de uma dada região que toma valores prescritos na fronteira (contorno) da região.

O problema de Dirichlet pode ser resolvido por muitas EDPs, embora originalmente ele era representado por equação de Laplace. Nesse caso o problema pode ser apresentado como segue:

Dada uma função f que tem valores em todos os lugares no contorno de uma região em Rⁿ, existe uma única função contínua u diferenciável continuamente duas vezes no interior e contínua no contorno, tal que u é harmônica no interior e u = f no contorno?

Esta exigência é chamada de condição de contorno de Dirichlet. A questão principal é provar a existência de uma solução; a singularidade pode ser provada usando-se o princípio do máximo.

História

O problema de Dirichlet é nomeado em homenagem a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução para um método variacional que tornou-se conhecido como princípio de Dirichlet. A existência de uma única solução é muito plausível pelo 'argumento físico': qualquer distribuição de carga no contorno deveria, pelas leis da eletrostática, determinar um potencial elétrico como solução.

Entretanto, Weierstrass encontrou uma falha no argumento de Dirichlet, e uma rigorosa prova de existência foi encontrada somente em 1900 por Hilbert. Ocorre que a existência de uma solução depende delicadamente da suavidade do contorno e os dados prescritos.

Solução geral

Para um domínio $D$ tendo um contorno suficientemente suave $\partial D$, a solução geral para o problema de Dirichlet é dada por

$u(x)=\int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds$

onde $G(x,y)$ é a função de Green para a equação diferencial parcial, e

$\frac{\partial G(x,s)}{\partial n} = \widehat{n} \cdot \nabla_s G (x,s) = \sum_i n_i \frac{\partial G(x,s)}{\partial s_i}$

é a derivada da função de Green ao longo do vetor unidade com orientação normal interno $\widehat{n}$. A integração é realizada sobre o contorno, com medida $ds$. A função $\nu(s)$ é dada pela solução única à equação integral de Fredholm do segundo tipo,

$f(x) = -\frac{\nu(x)}{2} + \int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds.$

A função de Green a ser usada na integral acima é uma que desaparece no contorno:

$G(x,s)=0$

para $s\in \partial D$ e $x\in D$. Tal função de Green é usaulmente uma soma da função de Greem de campo livre e uma solução harmônica à equação diferencial.

Existência

O problema de Dirichlet para funções harmônicas sempre tem uma solução, e esta solução é única, quando o contorno é suficientemente suave e $f(s)$ é contínua. Mais precisamente, tem, solução quando

$\partial D \in C^{(1,\alpha)}$

para $0<\alpha$, onde $C^{(1,\alpha)}$ denota a condição de Hölder.

Exemplo: o disco unidade em duas dimensões

Em alguns casos simples o problema de Dirichlet pode ser resolvido explicitamente. Por exemplo, a solução para o problema de Dirichlet para o disco unidade em R² é dado pela fórmula integral de Poisson.

Se $f$ é uma função contínua no contorno $\partial D$ de um disco unidade aberto $D$, então a solução para o problema de Dirichlet é $u(z)$ dado por

$u(z) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(e^{i\psi}) \frac {1-\vert z \vert ^2}{\vert z-e^{i\psi}\vert ^2} d \psi & \mbox{if }z \in D \\ f(z) & \mbox{if }z \in \partial D. \end{cases}$

A solução $u$ é contínua no disco unidade fechado $\bar{D}$ e harmônica sobre $D.$

O integrando é conhecido como o núcleo de Poisson; esta solução segue-se da função de Green em duas dimensões:

$G(z,x) = -\frac{1}{2\pi} \log \vert z-x\vert + \gamma(z,x)$

onde $\gamma(z,x)$ é harmônica

$\Delta_x \gamma(z,x)=0$

e escolhida tal que $G(z,x)=0$ para $x\in \partial D$.

Generalizações

Problemas de Dirichlet são típicos de equações diferenciais parciais elípticas, e teoria potencial, e a equação de Laplace em particular. Outros exemplos incluem a equação biharmônica e equações relacionadas em teoria da elasticidade.

Eles são alguns dos diversos tipos de classes de problemas de EDP definidos pela informação dada no contorno, incluindo problemas de Neumann e problemas de Cauchy.

Referências

• A. Yanushauskas (2001), "Dirichlet problem", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
• S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4 

Ligações externas

• Eric W. Weisstein; Dirichlet Problem - MathWorld
• Dirichlet Problem Module by John H. Mathews

Ver também

• Método Perron