Problema de Dirichlet

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Em matemática, um problema de Dirichlet é o problema de encontar-se uma função a qual resolva uma equação diferencial parcial (EDP) específica no interior de uma dada região que toma valores prescritos na fronteira (contorno) da região.

O problema de Dirichlet pode ser resolvido por muitas EDPs, embora originalmente ele era representado por equação de Laplace. Nesse caso o problema pode ser apresentado como segue:

Dada uma função f que tem valores em todos os lugares no contorno de uma região em Rn, existe uma única função contínua u diferenciável continuamente duas vezes no interior e contínua no contorno, tal que u é harmônica no interior e u = f no contorno?

Esta exigência é chamada de condição de contorno de Dirichlet. A questão principal é provar a existência de uma solução; a singularidade pode ser provada usando-se o princípio do máximo.

História[editar | editar código-fonte]

O problema de Dirichlet é nomeado em homenagem a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução para um método variacional que tornou-se conhecido como princípio de Dirichlet. A existência de uma única solução é muito plausível pelo 'argumento físico': qualquer distribuição de carga no contorno deveria, pelas leis da eletrostática, determinar um potencial elétrico como solução.

Entretanto, Weierstrass encontrou uma falha no argumento de Dirichlet, e uma rigorosa prova de existência foi encontrada somente em 1900 por Hilbert. Ocorre que a existência de uma solução depende delicadamente da suavidade do contorno e os dados prescritos.

Solução geral[editar | editar código-fonte]

Para um domínio D tendo um contorno suficientemente suave \partial D, a solução geral para o problema de Dirichlet é dada por

u(x)=\int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds

onde G(x,y) é a função de Green para a equação diferencial parcial, e

\frac{\partial G(x,s)}{\partial n} = \widehat{n} \cdot \nabla_s G (x,s) = \sum_i n_i \frac{\partial G(x,s)}{\partial s_i}

é a derivada da função de Green ao longo do vetor unidade com orientação normal interno \widehat{n}. A integração é realizada sobre o contorno, com medida ds. A função \nu(s) é dada pela solução única à equação integral de Fredholm do segundo tipo,

f(x) = -\frac{\nu(x)}{2} + \int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds.

A função de Green a ser usada na integral acima é uma que desaparece no contorno:

G(x,s)=0

para s\in \partial D e x\in D. Tal função de Green é usaulmente uma soma da função de Greem de campo livre e uma solução harmônica à equação diferencial.

Existência[editar | editar código-fonte]

O problema de Dirichlet para funções harmônicas sempre tem uma solução, e esta solução é única, quando o contorno é suficientemente suave e f(s) é contínua. Mais precisamente, tem, solução quando

\partial D \in C^{(1,\alpha)}

para 0<\alpha, onde C^{(1,\alpha)} denota a condição de Hölder.

Exemplo: o disco unidade em duas dimensões[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos simples o problema de Dirichlet pode ser resolvido explicitamente. Por exemplo, a solução para o problema de Dirichlet para o disco unidade em R2 é dado pela fórmula integral de Poisson.

Se f é uma função contínua no contorno \partial D de um disco unidade aberto D, então a solução para o problema de Dirichlet é u(z) dado por

u(z) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(e^{i\psi})
\frac {1-\vert z \vert ^2}{\vert z-e^{i\psi}\vert ^2} d \psi & \mbox{if }z \in D \\
 f(z) & \mbox{if }z \in \partial D. \end{cases}

A solução u é contínua no disco unidade fechado \bar{D} e harmônica sobre D.

O integrando é conhecido como o núcleo de Poisson; esta solução segue-se da função de Green em duas dimensões:

G(z,x) = -\frac{1}{2\pi} \log \vert z-x\vert + \gamma(z,x)

onde \gamma(z,x) é harmônica

\Delta_x \gamma(z,x)=0

e escolhida tal que G(z,x)=0 para x\in \partial D.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Problemas de Dirichlet são típicos de equações diferenciais parciais elípticas, e teoria potencial, e a equação de Laplace em particular. Outros exemplos incluem a equação biharmônica e equações relacionadas em teoria da elasticidade.

Eles são alguns dos diversos tipos de classes de problemas de EDP definidos pela informação dada no contorno, incluindo problemas de Neumann e problemas de Cauchy.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]