Problema de Euler dos três corpos

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Em física e astronomia, o problema de Euler dos três corpos, estudado por Leonhard Euler, é o problema do movimento de uma massa de teste que se move livremente na presença de um campo gravitacional de duas massas fixas no espaço.[1] Este problema é o problema dos três corpos mais simples que mantém seu significado físico. Euler o discutiu em memórias publicadas em 1760.

O problema é solúvel analiticamente mas requer o cálculo de integrais elípticas.[2] Métodos numéricos podem ser usados, tal como o Runge-Kutta, para resolver aproximadamente a equação diferencial ordinária resultante.

Exemplo de órbitas bicêntricas[editar | editar código-fonte]

Em mecânica clássica, o problema de Euler dos três corpos descreve o movimento de uma partícula no plano sob a influência de dois centros fixos, cada qual atraindo a partícula com uma força proporcional ao inverso do quadrado das distâncias tais como a gravitacional newtoniana ou coulombiana. Exemplos do problema de bicentro incluem um planeta movendo-se ao redor de duas estrelas, ou um elétron movendo-se no campo elétrico de dois núcleos positivamente carregados, tal como o primeiro íon da molécula de hidrogênio, isto é, o H2+. Soluções analíticas para as energias quânticas são fornecidas pela versão generalizada da função W de Lambert[3] . A intensidade das duas atrações não podem ser iguais; assim, as duas estrelas devem ter massas diferentes ou os dois núcleos devem ter cargas diferentes.

Solução[editar | editar código-fonte]

Seja o centro fixo de atração localizado ao longo do eixo x em ±a. A energia potencial da partícula em movimento é dada por


V(x, y) = \frac{-\mu_{1}}{\sqrt{\left( x - a \right)^{2} + y^{2}}} - \frac{\mu_{2}}{\sqrt{\left( x + a \right)^{2} + y^{2}}} .

Os dois centros de atrações pode ser consideradas como o foco de um conjunto de elipses. Se cada centro for ausente, a partícula moveria-se em uma dessas elipses, como uma solução do problema de Kepler. Entretanto, de acordo com o teorema de Bonnet, as mesmas elipses são soluções para o problema de bicentro.

Introduzindo coordenadas elípticas,


\,x = \,a \cosh \xi \cos \eta,

\,y = \,a \sinh \xi \sin \eta,

a energica potencial pode ser escrita como


V(\xi, \eta) = \frac{-\mu_{1}}{a\left( \cosh \xi - \cos \eta \right)} - \frac{\mu_{2}}{a\left( \cosh \xi + \cos \eta \right)}
= \frac{-\mu_{1} \left( \cosh \xi + \cos \eta \right) - \mu_{2} \left( \cosh \xi - \cos \eta \right)}{a\left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right)},

e a energia cinética como


T = \frac{ma^{2}}{2} \left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right) \left( \dot{\xi}^{2} + \dot{\eta}^{2} \right).

Este é um sistema dinâmico de Liouville se ξ e η são tomados como φ1 e φ2, respectivamente; portanto, a função Y toma a forma


\,Y = \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta

e a função W toma a forma


W = -\mu_{1} \left( \cosh \xi + \cos \eta \right) - \mu_{2} \left( \cosh \xi - \cos \eta \right)

Utilizando a solução geral para sistemas dinâmico de Liouville,[4] obtemos


\frac{ma^{2}}{2} \left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right)^{2} \dot{\xi}^{2} = E \cosh^{2} \xi + \left( \frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{a} \right) \cosh \xi - \gamma

\frac{ma^{2}}{2} \left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right)^{2} \dot{\eta}^{2} = -E \cos^{2} \eta + \left( \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{a} \right) \cos \eta + \gamma

Introduzindo um parâmetro u pela fórmula


du = \frac{d\xi}{\sqrt{E \cosh^{2} \xi + \left( \frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{a} \right) \cosh \xi - \gamma}} = 
\frac{d\eta}{\sqrt{-E \cos^{2} \eta + \left( \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{a} \right) \cos \eta + \gamma}},

resulta na solução paramétrica


u = \int \frac{d\xi}{\sqrt{E \cosh^{2} \xi + \left( \frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{a} \right) \cosh \xi - \gamma}} = 
\int \frac{d\eta}{\sqrt{-E \cos^{2} \eta + \left( \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{a} \right) \cos \eta + \gamma}}.

Desde que estas sejam integrais elípticas, as coordenadas ξ e η podem ser expressas como funções elípticas de u.

Constante de movimento[editar | editar código-fonte]

O problema bicêntrico conserva a energia, isto é, a energia total E é uma constante de movimento. No entanto, o problema possui uma segunda constante de movimento, nomeadamente


r_{1}^{2} r_{2}^{2} \left( \frac{d\theta_{1}}{dt} \right) \left( \frac{d\theta_{2}}{dt} \right) - 
2c \left[ \mu_{1} \cos \theta_{1} + \mu_{2} \cos \theta_{2} \right],

a partir do qual o problema pode ser resolvido utilizando o método do último multiplicador.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Walter J. Wild, The Smithsonian/NASA Astrophysics Data System, Euler's three-body problem, publicado em American Journal of Physics, Volume 48, Issue 4, pp. 297-301 (1980), disponível no site Digital Library for Physics and Astronomy, da High Energy Astrophysics Division do Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics da Universidade de Harvard [em linha]
  2. Whittaker, E. T.. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies. 4th ed. ed. New York: Dover Publications, 1937. 97–99 pp. ASIN B0006AQI82
  3. T.C. Scott, M. Aubert-Frécon e J. Grotendorst (2006). "New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion", Chem. Phys. 324: 323-338, [1]; Arxiv article [2]
  4. Liouville. (1849). "Mémoire sur l'intégration des équations différentielles du mouvement d'un nombre quelconque de points matériels". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 14: 257–299.