Problema de Euler dos três corpos

Em física e astronomia, o problema de Euler dos três corpos, nomeados em referência a Leonhard Euler, é o problema do movimento de uma massa de teste que se move livremente na presença de um campo gravitacional de uma massa primária e secundária fixa no espaço. Este problema é o problema dos três corpos mais simples que mantém seu significado físico. Euler o discuti em memórias publicadas em 1760.

O problema é solúvel analiticamente mas requer o cálculo de integrais elípticas. Métodos numéricos podem ser usados, tal como o Runge-Kutta, para resolver aproximadamente a equação diferencial ordinária resultante.

Exemplo de órbitas bicêntricas

Em mecânica clássica, o problema de Euler dos três corpos descreve o movimento de uma partícula no plano sob a influência de dois centros fixos, cada qual atraindo a partícula com uma força proporcional ao inverso do quadrado das distâncias tais como a gravitacional newtoniana ou coulombiana. Exemplos do problema de bicentro incluem um planeta movendo-se ao redor de duas estrelas, ou um elétron movendo-se no campo elétrico de dois núcleos positivamente carregados, tal como o primeiro íon da molécula de hidrogênio, isto é, o H₂⁺. Soluções analíticas para as energias quânticas são fornecidas pela versão generalizada da função W de Lambert. A intensidade das duas atrações não podem ser iguais; assim, as duas estrelas devem ter massas diferentes ou os dois núcleos devem ter cargas diferentes.

Solução

Seja o centro fixo de atração localizado ao longo do eixo x em ±a. A energia potencial da partícula em movimento é dada por

$V(x, y) = \frac{-\mu_{1}}{\sqrt{\left( x - a \right)^{2} + y^{2}}} - \frac{\mu_{2}}{\sqrt{\left( x + a \right)^{2} + y^{2}}} .$

Os dois centros de atrações pode ser consideradas como o foco de um conjunto de elipses. Se cada centro for ausente, a partícula moveria-se em uma dessas elipses, como uma solução do problema de Kepler. Entretanto, de acordo com o teorema de Bonnet, as mesmas elipses são soluções para o problema de bicentro.

Introduzindo coordenadas elípticas,

$\,x = \,a \cosh \xi \cos \eta,$

$\,y = \,a \sinh \xi \sin \eta,$

a energica potencial pode ser escrita como

$V(\xi, \eta) = \frac{-\mu_{1}}{a\left( \cosh \xi - \cos \eta \right)} - \frac{\mu_{2}}{a\left( \cosh \xi + \cos \eta \right)} = \frac{-\mu_{1} \left( \cosh \xi + \cos \eta \right) - \mu_{2} \left( \cosh \xi - \cos \eta \right)}{a\left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right)},$

e a energia cinética como

$T = \frac{ma^{2}}{2} \left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right) \left( \dot{\xi}^{2} + \dot{\eta}^{2} \right).$

Este é um sistema dinâmico de Liouville se ξ e η são tomados como φ₁ e φ₂, respectivamente; portanto, a função Y toma a forma

$\,Y = \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta$

e a função W toma a forma

$W = -\mu_{1} \left( \cosh \xi + \cos \eta \right) - \mu_{2} \left( \cosh \xi - \cos \eta \right)$

Utilizando a solução geral para sistemas dinâmico de Liouville, obtemos

$\frac{ma^{2}}{2} \left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right)^{2} \dot{\xi}^{2} = E \cosh^{2} \xi + \left( \frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{a} \right) \cosh \xi - \gamma$

$\frac{ma^{2}}{2} \left( \cosh^{2} \xi - \cos^{2} \eta \right)^{2} \dot{\eta}^{2} = -E \cos^{2} \eta + \left( \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{a} \right) \cos \eta + \gamma$

Introduzindo um parâmetro u pela fórmula

$du = \frac{d\xi}{\sqrt{E \cosh^{2} \xi + \left( \frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{a} \right) \cosh \xi - \gamma}} = \frac{d\eta}{\sqrt{-E \cos^{2} \eta + \left( \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{a} \right) \cos \eta + \gamma}},$

resulta na solução paramétrica

$u = \int \frac{d\xi}{\sqrt{E \cosh^{2} \xi + \left( \frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{a} \right) \cosh \xi - \gamma}} = \int \frac{d\eta}{\sqrt{-E \cos^{2} \eta + \left( \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{a} \right) \cos \eta + \gamma}}.$

Desde que estas sejam integrais elípticas, as coordenadas ξ e η podem ser expressas como funções elípticas de u.

Constante de movimento

O problema bicêntrico conserva a energia, isto é, a energia total E é uma constante de movimento. No entanto, o problema possui uma segunda constante de movimento, nomeadamente

$r_{1}^{2} r_{2}^{2} \left( \frac{d\theta_{1}}{dt} \right) \left( \frac{d\theta_{2}}{dt} \right) - 2c \left[ \mu_{1} \cos \theta_{1} + \mu_{2} \cos \theta_{2} \right],$

a partir do qual o problema pode ser resolvido utilizando o método do último multiplicador.

Ver também

• Integral de Jacobi
• Pontos de Lagrange