Problema de Suslin

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Em matemática, o Problema de Suslin é uma questão referente a conjuntos totalmente ordenados enunciada por Mikhail Yakovlevich Suslin in 1920.[1] Solovay e Tennenbaum demonstraram que o Problema de Suslin não pode ser decidido na base dos axiomas de ZFC[2]

(Suslin também é escrito Souslin, a transliteração francesa do cirílico Суслин.)

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto totalmente ordenado e não vazio R com as seguintes propriedades:

  1. R não tem máximo nem mínimo.
  2. a ordem de R é densa (entre dois elementos, sempre tem um outro).
  3. a ordem de R é completa, (todo subconjunto não vazio limitado tem um supremo e um ínfimo).
  4. toda coleção de intervalos abertos, disjuntos dois a dois, em R é enumerável (o que é chamado "condição de cadeia enumerável", ccc em inglês).

é R necessariamente isomorfo (segundo a ordem) ao conjunto dos números reais?

A Hipótese de Suslin é a resposta afirmativa a essa questão. De maneira equivalente, a Hipótese de Suslin pode ser enunciada como: "toda árvore de tamanho ω1 ou bem tem um ramo de altura ω1, ou bem tem uma anti-cadeia de cardinalidade ω1.

Se a condição de cadeia enumerável é substituída pela condição "R contém um subconjunto enumerável denso", então pode ser demonstrado que R é isomorfo ao conjunto dos números reais. Na teoria dos corpos ordenados essa condição implica que o corpo é arquimedeano.

A Hipótese generalizada de Suslin afirma que para todo cardinal infinito regular κ, toda árvore de altura κ ou bem tem um ramo de comprimento κ, ou bem tem uma anti-cadeia de cardinal κ.

Consequências[editar | editar código-fonte]

A Hipótese de Suslin é independente em ZFC, pois não pode ser demonstrada nem refutada se os axiomas de ZFC são consistentes. Além disso, é independente tanto da Hipótese do Contínuo Generalizada como de sua negação. Entretanto, o Axioma de Martin mais a Hipótese do Contínuo implicam a Hipótese de Suslin. Uma consequência do chamado "Príncipio Diamante, de Jensen" [utilizado na Teoria combinatória dos Conjuntos] é a negação da Hipótese de Souslin.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Souslin, M.. (1920). "Problème 3". Fundamenta Mathematicae 1: 223.
  2. Solovay, R. M.; Tennenbaum, S.. (1971). "Iterated Cohen extensions and Souslin's problem". Ann. Of Math. (2) 94 (2): 201–245. Annals of Mathematics. DOI:10.2307/1970860.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]