Problema dos dois corpos

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Dois corpos de mesma massa orbitando em torno de seu baricentro.

Em mecânica celeste, o problema dos dois corpos estuda o movimento de dois corpos sujeitos apenas à atração gravitacional entre eles.

O problema, no caso clássico, é facilmente reduzido à solução do problema de um corpo de massa desprezível sob a ação de um campo gravitacional estático causado por uma massa pontual.

Em contraste, o problema dos três corpos não admite uma solução simples.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Sejam A e B corpos de tamanho desprezível, de massas, respectivamente, M e m. Determinar a equação do seu movimento, sendo eles sujeitos apenas à atração gravitacional mútua.

Solução[editar | editar código-fonte]

Usando vetores no espaço em três dimensões, sendo a posição do corpo A o vetor \mathbf{x}_A\,, a posição do corpo B o vetor \mathbf{x}_B\,, as acelerações os vetores \mathbf{a}_A\, e \mathbf{a}_B\,, a força exercida sobre A o vetor \mathbf{F}_A\, e a força exercida sobre B o vetor \mathbf{F}_B\,, temos:

\mathbf{F}_A = M \ \mathbf{a}_A\,
\mathbf{F}_B = m \ \mathbf{a}_B\,

Pela lei da gravitação universal, escrita em forma vetorial, temos:

\mathbf{F}_A = - G \ m \ M \ \frac{\mathbf{x}_A - \mathbf{x}_B}{\left|\mathbf{x}_A - \mathbf{x}_B\right|^3}\,
\mathbf{F}_B = - G \ m \ M \ \frac{\mathbf{x}_B - \mathbf{x}_A}{\left|\mathbf{x}_B - \mathbf{x}_A\right|^3}\,

Assim, temos que a aceleração relativa do corpo B em relação ao corpo A, \mathbf{a}_B - \mathbf{a}_A\,, pode ser escrita como:

\mathbf{a}_B - \mathbf{a}_A = - G \ (M + m) \  \frac{\mathbf{x}_B - \mathbf{x}_A}{\left|\mathbf{x}_B - \mathbf{x}_A\right|^3}\,

Ou seja, reduzimos o problema dos dois corpos ao estudo do movimento de um corpo de massa desprezível submetido à atração gravitacional de um corpo de massa M + m.

Propriedades da solução[editar | editar código-fonte]

  • Como o sistema não é influenciado por forças externas, seu centro de massa possui aceleração nula:
\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{M\mathbf{x}_A+m\mathbf{x}_B}{m+M}\right)=\frac{M\mathbf{a}_A+m\mathbf{a}_B}{m+M}=\frac{\mathbf{F}_A+\mathbf{F}_B}{m+M}=0\,
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