Processo de Wiener

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Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico contínuo no tempo, nomeado em honra de Norbert Wiener.

É frequentemente chamado de movimento Browniano, após o botânico Robert Brown em 1827 e trabalhos escritos por A. Einstein em 1905 e publicados novamente 1950 ([nota 1] ,[nota 2] ). É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos estacionários independentes) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, biologia, medicina, e física.

Um dos pontos que mais tem atraido atenção para o processo de Wiener reside no fato de que este é um dos únicos processos estocásticos que é martingale e marcoviano ao mesmo tempo, algo desejado na teoria de integral estocástica.

Abaixo seguem algumas imagens de um processo de Wiener, ou movimento browniano.

Detalhes matemáticos[editar | editar código-fonte]

Usando [1] , e simplificando os detalhes matemáticos, um processo de Wiener respeita:

  • Inicialmente toda a "massa" é concentrada na origem, W0 = 0 com probabilidade 1;
  • Wt é um processo gaussiano com média zero e variância equal a s^2;
  • Dado dois pontos no tempo, considere t e s, para s>t, Ws -Wt é um processo estocástico, guassiano, com média zero e variância equal a s-t;

Um textos usam formulações mais matemáticas e complicadas como o conceito de sigma algebra. A importância deste processo está no seu uso no cálculo de Itô, uma das teoria mais bem aceitas em modelos estocásticos.

Uma representação única de um processo de Wiener unidimensional.
Uma representação única de umsimples de um processo de Wiener tridimensional.

Integração Estocástica[editar | editar código-fonte]

Um dos modelos estocásticos mais importantes é a equação diferential estocástica logo abaixo:

X_t=X_0 + \int_0^t\mu_s\,ds +\int_0^t\sigma_s\,dW_s.

De forma equivalente:

X_t= gamma +\int_0^t\sigma_s\,dW_s.

Gamma pretende representar o que já sabemos do "cálculo de Newton", determinístico, o "segredo" está na parte deixada em evidência. Quando usa-se W, o processo de Wiener, estamos no campo do cálculo de Itô.

Notas

  1. Este assunto foi tratado em um dos célebres artigos de Einstein em 1905.
  2. Ver por exemplo Stachel, J (1998). Einstein’s miraculous year: five papers that changed the face of physics. Princeton University Press. New Jersey. Paper 2: On the Motion of Small Particles Suspended in Liquids at Rest Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat. 13: 85-98.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Cálculo de Itô

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Kleinert, Hagen, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (also available online: PDF-files)
  • Stark,Henry, John W. Woods, Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing, 3rd edition, Prentice Hall (New Jersey, 2002); Textbook ISBN 0-13-020071-9
  • Durrett, R. (2000) Probability: theory and examples,4th edition. Cambridge University Press, ISBN 0521765390
  • Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, second edition, Springer-Verlag 1994.
    • P E Kloeden, Eckhard Platen, Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations, Applications of Mathematics 23, Stochastic Modelling and Applied probability, Springer, 1992.