Produto vetorial

Encontrando a direção do produto vetorial entre dois vetores a e b.

Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre dois vetores em um espaço vetorial tridimensional e é denotado por ×. Dados dois vetores independentes linearmente a e b, o produto vetorial a × b é um vetor perpendicular ao vetor a e ao vetor b e é a normal do plano contendo os dois vetores. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar.

Se dois vetores possuem a mesma direção (ou têm a exata direção oposta um ao outro, ou seja, não são linearmente independentes) ou um deles é o vetor 0, seu produto vetorial é o vetor 0. Genericamente, a magnitude do produto vetorial é igual a área do paralelogramo com os dois vetores como lados do paralelogramo. Assim, a magnitude da área do paralelogramo que possui dois vetores perpendiculares como lado é o produto do seu comprimento.

Definição

A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial $\mathbf {R} ^{3}$ é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos escrevem a ∧ b para evitar a confusão com a letra x). Podemos defini-lo como

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|sin\theta$

onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e $\mathbf {\hat {n}}$ é o vetor unitário perpendicular tanto a a quanto a b.

O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares a a e b simultaneamente: se $\mathbf {\hat {n}}$ é perpendicular, então $-\mathbf {\hat {n}}$ também o é.

O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto.

Uma forma fácil de determinar o sentido do vetor resultante é a regra da mão direita. Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.

O produto vetorial é classificado como um pseudovetor porque inverte frente à reflexão.

O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito a um sistema de coordenadas destro, como se segue:

Propriedades

O produto vetorial admite as seguintes propriedades:

Significado geométrico

O comprimento do produto vetorial, |a × b|, pode ser interpretado como a área do paralelogramo definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.

Propriedades algébricas

O produto vetorial é anticomutativo,

a × b = -b × a,

distributivo sobre a adição,

a × (b + c) = a × b + a × c,

e compatível com a multiplicação escalar, tal que

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b).

Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R³ junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie.

Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se a × b = 0.

Fórmula de Lagrange

Esta é uma fórmula útil e bem conhecida,

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),

a qual é mais fácil de memorizar como “BAC menos CAB”. Esta fórmula é muito útil para simplificar cálculos com vetores na física. É importante notar, entretanto, que esta fórmula não se aplica quando do uso do operador nabla.

Um caso especial com respeito a gradiente em cálculo vetorial é:

${\begin{matrix}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=&\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=&{\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplacian }}\mathbf {f} .\end{matrix}}$

Este é um caso especial da mais geral decomposição Hodge $\Delta =d\partial +\partial d$ do Laplaciano Hodge.

Outra identidade útil de Lagrange é

$|a\times b|^{2}+|a\cdot b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}.$

Este é um caso especial da multiplicatividade $|vw|=|v||w|$ da norma na álgebra de quaternion.

Notação matricial

Os vetores unitários i, j e k, para uma dado sistema ortogonal de coordenadas, satisfazem as seguintes igualdades:

i × j = k           j × k = i           k × i = j

j × i = -k         k × j = -i           i × k = -j

Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja:

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

e

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃].

Então

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}$

O determinante de três vetores pode ser recuperado como

det (a, b, c) = a · (b × c).

Intuitivamente, o produto vetorial pode ser descrito pelo método de Sarrus, onde

${\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} &\mathbf {i} &\mathbf {j} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{1}&b_{2}\end{matrix}}$

Para os primeiros três vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a₂, e b₃). Para os três últimos vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e então os multiplique por -1 (ex. a última diagonal conteria k, a₂, e b₁). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:

$\mathbf {i} (a_{2}b_{3})+\mathbf {j} (a_{3}b_{1})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2})-\mathbf {i} (a_{3}b_{2})-\mathbf {j} (a_{1}b_{3})-\mathbf {k} (a_{2}b_{1})$

O produto vetorial também pode ser descrito em termos de quaternions. Note por exemplo que as relações entre produtos vetoriais acima i, j, e k concordam com a relação multiplicativa entre os quaternions i, j, e k. Em geral, se representamos um vetor [a₁, a₂, a₃] como o quaternion a₁i + a₂j + a₃k, obtemos o produto vetorial tomando seus produtos e descartando a parte real do resultado (a parte real será o negativo do produto escalar de dois vetores). Mais sobre a conexão entre multiplicação de quaternion, operações de vetores e geometria pode ser encontrado em quaternions e rotação espacial.

Aplicações

O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial.

O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação e assim obter gráficos mais realistas.

Dimensões maiores

O produto vetorial para vetores 7-dimensionais pode ser obtido da mesma maneira, porém usando-se os octônions em vez dos quatérnions.

Esse produto vetorial 7-dimensional tem as seguintes propriedades em comum com o habitual produto vetorial tridimensional:

• É bilinear de forma que:

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

• É anticomutativo:

x × y + y × x = 0

• É perpendicular a x e a y simultaneamente:

x · (x × y) = y · (x × y) = 0

• Temos:

|x × y|² = |x|² |y|² − (x · y)².

Diferente do produto vetorial tridimensional, não satisfaz a identidade de Jacobi (a igualdade se manteria em 3 dimensões):

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

Os parágrafos a seguir contêm expressões em itálico que ainda necessitam tradução

Para o caso geral (n-dimensional), não há análogo direto do produto vetorial. Entretanto existe o wedge product produto exterior (literalmente produto cunha), que possui propriedades semelhantes, exceto que o produto exterior de dois vetores passa a ser um 2-vector em vez de um vetor comum. O produto vetorial pode ser interpretado como sendo o produto exterior em três dimensões após usar-se a dualidade de Hodge para se identificar 2-vectores com vectores.

O produto exterior e o produto escalar podem ser combinados para formarem o produto de Clifford.

Ver também

• Produto escalar
• Regra da mão direita