Produto tensorial

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Em matemática, o produto tensorial, simbolizado[1] por \otimes, pode ser aplicado em diferentes contextos a vetores, matrizes, tensores, espaços vetoriais, álgebras, espaços vetoriais topológicos, e módulos. Em cada caso o significado do símbolo é o mesmo: a operação bilinear mais geral. Em alguns contextos, este produto é também referido como sendo produto externo. O termo "produto tensorial" é também usado em relação a categorias monoidais.

Produto tensorial sobre espaços vetoriais[editar | editar código-fonte]

Sejam U e V espaços vetoriais sobre o corpo K. Um produto tensorial de U e V é um par (W, \varphi), onde W é um espaço vetorial sobre o corpo K, e  \varphi: U \times V \mapsto W é uma aplicação bilinear que satisfaz a seguinte propriedade universal:

Para todo W espaço vetorial sobre K e para toda  \psi: U \times V \mapsto W' bilinear, existe uma única  T: W \mapsto W' linear tal que

 \psi(u,v)= T(\varphi(u,v)),  \forall u \in U e \forall v \in V .

É usual também encontrarmos a seguinte notação W = U \otimes_K V , para indicar que W é o espaço vetorial sobre o corpo K resultante do produto tensorial U \otimes V.

Pré-requisitos: o espaço vetorial livre[editar | editar código-fonte]

A construção do espaço \otimes W requer a noção de espaço vetorial livre F(S) em algum conjunto S. Os elementos do espaço vetorial F(S) são expressos da forma

a_1 \cdot s_1 + a_2 \cdot s_2 + \dots + a_n \cdot s_n.

Onde os coeficientes a_1, \dots, a_n são elementos de um corpo K e os s_1, \dots, s_n são elementos arbitrários de S. O símbolo de soma e os pontos são puramente notações formais. A adição de tais somas lineares formais, não significa que os elementos de S são somados, e nem que um elemento de K seja realmente multiplicado por um elemento S. Em vez disso, por exemplo

(a_1 \cdot s_1 + \dots + a_n \cdot s_n) + (a'_1 \cdot s_1 + b' \cdot s') = (a_1 + a'_1) \cdot s_1 + a_2\cdot s_2 + \dots a_n \cdot s_n + b' \cdot s',

se s'é diferente para todo elemento que aparece na primeira soma. Portanto, o produto (multiplicação por escalar) das somas lineares formais acima com algum elemento x em K é definida como

(x a_1) \cdot s_1 + (x a_2) \cdot s_2 + \dots + (x a_n) \cdot s_n.

Isto conclui a definição de espaço vetorial F(S). Por exemplo, se S possui 3 elementos, então F(S) é um espaço vetorial 3- dimensional.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dados dois espaços vetoriais U e V, o Produto cartesiano U \times V é o conjunto dos pares ordenados (u, v), tais que u \in U e v \in V. (Este produto cartesiano é também um espaço vetorial). O produto tensorial é definido como um certo espaço vetorial quociente F(U \times V), que é um K- espaço vetorial livre sobre o produto cartesiano.


Notas e referências

  1. O símbolo \otimes foi usado primordialmente pelos fenícios, na letra ṭēth, mas a moderna notação é presumivelmente uma modificação do sinal de multiplicação ×.

Referências[editar | editar código-fonte]