Produtos notáveis

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No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos Notáveis e são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e evitar erros com sinais.[1]

Quadrado da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

Binomio al cuadrado.svg

(a+b)^2= a^2+2ab+b^2.

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.[2]


  • Prova: (a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b)=a \cdot (a+b)+b \cdot (a+b)=a^2 + ab + ab + b^2=a^2+2ab+b^2


  • Exemplos:
    1. \left( \dfrac{4x}{5y}+z \right )^2=\left( \dfrac{4x}{5y}+z \right )\cdot \left( \dfrac{4x}{5y}+z \right )=\dfrac{4x}{5y}\cdot\left ( \dfrac{4x}{5y} + z \right )+ z\cdot\left ( \dfrac{4x}{5y}+z \right )=\dfrac{16x^2}{25y^2}+\dfrac{4xz}{5y}+\dfrac{4xz}{5y}+z^2=\dfrac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5y}+z^2
    2. (8x+a)^2=(8x+a)\cdot(8x+a)=8x\cdot(8x+a)+a\cdot(8x+a)=64x^2+8ax+8ax+a^2=64x^2+16ax+a^2

Quadrado da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, subtraído o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.


  • Prova: (a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot (a-b)-b \cdot (a-b) = a^2 -ab - ab + b^2= a^2-2ab+b^2


  • Exemplos:
    1. \left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{3mp}{2n}+p^2
    2. (1-2x)^2=1-4x+4x^2

Produto da soma pela diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

Regra básica: Quadrado do primeiro termo subtraído o quadrado do segundo termo.


  • Prova: (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - ab + ab  - b^2=a^2 +ab \cdot (1-1) - b^2=a^2-b^2


  • Exemplos:
    1. (a^2+b^3) \cdot (a^2-b^3)=a^4-a^2b^3+a^2b^3-b^6=a^4+a^2b^3 \cdot (1-1)-b^6=a^4-b^6
    2. \left( \frac{a}{x}+2 \right ).\left( \frac{a}{x}-2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-\frac{2a}{x}+\frac{2a}{x}-4=\frac{a^2}{x^2}+\frac{2a \cdot (1-1)}{x}-4=\frac{a^2}{x^2}-4

Cubo da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

Decomposição volumétrica do binômio ao cubo

Regra básica: O cubo do primeiro termo, somado o triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, somado ao cubo do segundo termo.

(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

  • Exemplos:
    1. (m+3n)^3=m^3 + 3 \cdot m^2 \cdot 3n + 3 \cdot m \cdot (3n)^2 + (3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3
    2. (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8
    3. (a+3b)^3=a^3+9a^2b+27ab^2+27b^3

Cubo da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

(a - b)^3=(a - b) \cdot (a - b)^2 = (a - b) \cdot (a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Regra básica: Para calcular o cubo da diferença faça: O cubo do 1° termo, subtraído o triplo do produto do quadrado do 1° termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, subtraído o cubo do 2° termo.

  • Exemplos:
    1. (b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3
    2. \left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}
    3. (1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3

Quadrado da soma de três termos[editar | editar código-fonte]

(a + b + c)^2 = a^2 + ab + ac + b^2 + ab + bc + ac + bc + c^2

 \rightarrow (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

  • Exemplos:
    1. (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
    2. (x-2y-3)^2=x^2+(-2y)^2+(-3)^2+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3)
    3.  x^2+4y^2+9-4xy-6x+12y

Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum)[editar | editar código-fonte]

Considerando o produto notável (x + a) \cdot (x + b), temos:

(x + a) \cdot (x + b) = x\cdot(x + b) + a\cdot(x+b) = x^2 + bx + ax + ab \Rightarrow x^2 + (a + b)x + ab

  • Exemplos:
    1. (x+4)\cdot(x+3)=x^2+(4+3)\cdot x+4 \cdot 3=x^2+7x+12
    2. (x-2)\cdot(x-6)=x^2+(-2-6)\cdot x+(-2)\cdot(-6)=x^2-8x+12
    3. (x-1)\cdot(x+5)=x^2+(-1+5)\cdot x+5\cdot(-1)=x^2+4x-5


Este tipo de produto notável pode ser usado para resolver equações polinomiais.

  • Prova: Assumindo uma equação polinomial de grau 2 podemos escrevê-la como:

 ax^2 + bx + c = 0 ou  x^2 - x\cdot(x_{1} + x_{2}) + x_{1}x_{2}=0

Onde a segunda pode ser fatorada como  (x-x_{1})\cdot(x-x_{2})=0 e a primeira, como consequência, será:  a\cdot(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})=0

Produto de Warring[editar | editar código-fonte]

Caso 1[editar | editar código-fonte]

 (a + b) \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3


  • Prova: Considerando (a + b) \cdot (a^2 - ab + b^2), temos:

(a + b) \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2 b + ab^2 + a^2 b - ab^2 + b^3 = a^3+b^3 .


  • Exemplo:
  1. (x+5)\cdot(x^2-5x+25)=x^3+5^3=x^3+125
  2. (2x+3)\cdot(4x^2-6x+9)=(2x)^3+3^3=8x^3+27

Caso 2[editar | editar código-fonte]

(a - b) \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3


  • Prova: Considerando (a - b)\cdot(a^2+ab+b^2), temos:

(a - b) \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2 b - ab^2 - a^2 b + ab^2 - b^3 = a^3-b^3


  • Exemplo
    • (x - 3) \cdot (x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27

Notas e referências

  1. R. Brault Mathématiques 3ième Hachette éducation (2008) ISBN 978-2-01-125539-6
  2. Elementos de Euclides, Livro II, Proposição 4

Ver também[editar | editar código-fonte]

Equação Polinomial

Referências

Ligações externas[editar | editar código-fonte]