Produtos notáveis

No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos Notáveis

Quadrado da soma de dois termos

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2 \,$.

Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.

• Exemplos:

1. $\left( \frac{4x}{5y}+z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5y}+z^2$
2. $(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,$

Quadrado da diferença de dois termos

A expressão diferença do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda parcela:

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo , mais o quadrado do segundo

$(x - y)^2 = (x -y) . (x - y) = x^2 - xy - yx + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 \,$

• Exemplos:

1. $\left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{6mp}{4n}+p^2$
2. $(1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,$

Produto da soma pela diferença de dois termos

$(a + b).(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2=a^2-b^2 \,$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

• Exemplos:

1. $(a^2+b^3).(a^2-b^3)=a^4-b^6 \,$
2. $\left( \frac{a}{x}-2 \right ).\left( \frac{a}{x}+2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-4$

Cubo da diferença de dois termos

$(x - y)^3=(x - y).(x - y).(x - y) \,$
$= (x - y).(x - y)^2 \,$
$= (x - y).(x^2 - 2xy + y^2) \,$
$= x^3 - 2(x^2)y + xy^2 - yx^2 + 2xy^2 - y^3 \,$
$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,$

• Exemplos:

1. $(b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3\,$
2. $\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}\,$
3. $(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3\,$

Cubo da soma de dois termos

Decomposição volumétrica do binômio ao cubo

O cubo da soma de dois termos se diferencia do cubo da diferença apenas pelos sinais

$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \,$

• Exemplos:

1. $(m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3 \,$
2. $(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \,$

Quadrado da soma de três termos

$(a + b + c)^2 = a^2 + ab + ac + b^2 + ab + bc + ac + bc + c^2 \,$

$\Rightarrow (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

• Exemplos:

1. $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz \,$
2. $(x-2y-3)^2=x^2+(-2y)^2+(-3)^2+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3) \,$
   

$= x^2+4y^2+9-4xy-6x+12y \,$

Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum)

Considerando o produto notável $(x + a).(x + b) \,$, temos:

$(x + a).(x + b) = x^2 + ax + bx + ab \,$

$\Rightarrow (x + a).(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \,$

• Exemplos:

1. $(x+4)(x+3)=x^2+(4+3)x+4.3=x^2+7x+12 \,$
2. $(x-2)(x-6)=x^2+(-2-6)x+(-2)(-6)=x^2-8x+12 \,$
3. $(x-1)(x+5)=x^2+(-1+5)x+5(-1)=x^2+4x-5 \,$

Produto de Warring

Considerando $(a + b).(a^2 - ab + b^2) \,$, temos:

(a + b).(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³ / ,

$\Rightarrow (a + b).(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \,$

• Exemplo:

$(x+5)(x^2-5x+25)=x^3+5^3=x^3+125 \,$

Considerando $(a - b).(a^2 + ab + b^2) \,$, temos:

$(a - b).(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2 b - ab^2 - a^2 b + ab^2 - b^3 = a^3-b^3 \,$

$\Rightarrow (a - b).(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \,$

• Exemplo

$(x - 3).(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27 \,$

Ver também

• Exercícios no Wikilivros

Ligações externas

• Produtos Notáveis