Progressão aritmética

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Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.[1] [2] [3]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica (a_n)_{n\in\mathbb{N}} definida recursivamente por:[2] [3]

a_n = a_{n-1} + r,\quad n>1,

onde o primeiro termo, a_1, é um número dado. O número r é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

r = a_n - a_{n-1},\quad n> 1.

Exemplos:[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

  • (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots) é uma progressão aritmética em que o primeiro termo a_1 é igual a 1 e a razão r é igual a 3.
  • (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots) é uma P.A. em que a_1 = -2 e r = -2.
  • (6,~6, ~6,~6,~6,~\ldots) é uma P.A. com a_1 = 6 e r = 0.

Fórmula do termo geral[editar | editar código-fonte]

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por a_n, pode ser obtido por meio da formula:[1] [2] [3]

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r,

em que:

  • a_1 é o primeiro termo;
  • r é a razão.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

  • Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto a_2 = a_1 + 1 \cdot r;
  • Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n-1, ou seja, que a_{n-1} = a_1 + (n - 2) \cdot r, resulta que o n-ésimo termo é dado por:
a_n = a_{n-1} + r = (a_1 + (n - 2) \cdot r) + r = a_1 + ((n - 2) \cdot r + r) = a_1 + (n - 1) \cdot r.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o n-ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do m-ésimo termo por:

a_n = a_m + (n - m) \cdot r.

Com efeito, a_m + (n-m)r = a_1 + (m-1)r + (n-m)r = a_1 + (n-1)r = a_n.

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2},\quad n>1

ou seja, a partir do segunda termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{a_1 + (n-2)r + a_1 + nr}{2} = \frac{2(a_1 + (n-1)r)}{2} = a_n.

Soma dos termos de uma progressão aritmética[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de a_p até a_q é calculada pela seguinte fórmula:

S_{(p,q)}=\frac{(q - p + 1) \cdot (a_p + a_q)}{2}.

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

S_n=\frac{n \cdot \left(a_1 + a_n\right)}{2}.

Demonstrações:[editar | editar código-fonte]

Considerando a PA (a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n), a soma S_n de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n
S_n = a_n + a_{n-1} + ... + a_2 + a_1

Somando membro a membro, obtemos:

2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)
2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_2 + a_{n-1}) + (a_1 + a_n)

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

(a_2 + a_{n-1}) = (a_1 + r + a_n - r) = (a_1 + a_n)
(a_3 + a_{n-2}) = (a_1 + 2r + a_n - 2r) = (a_1 + a_n)

e assim por diante

2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n)

Então, como há n pares de termos:

2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n
S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

Interpolação aritmética[editar | editar código-fonte]

Dada uma sequência finita (a_1,~a_2,~\ldots,~a_n), chamamos a_1 e a_n de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) k meios entre dois números dados a e b, de forma a obtermos uma progressão aritmética de n = k+2 termos, sendo a e b seus extremos.[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de k termos meios entre dois números dados a e b tem primeiro termo a_1 = a e razão:

r = \frac{b - a}{k+1}.

Com efeito, vemos que tomando n = k+2, temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

a_n =a + (k+2 - 1)\frac{b - a}{k+ 1} = b

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas[editar | editar código-fonte]

Progressão aritmética constante[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

  • (5,~5,~5,~5,~5,~5,~\ldots) tem razão r = 0
  • (0,~0,~0,~0,~0,~0,~\ldots) tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

  • (2,~4,~6,~8,~10,~\ldots) com razão r = 2
  • (3,~6,~9,~12,~15,~\ldots) com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).[2] [3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

  • (6,~4,~2,~0,~-2,~\ldots) tem razão igual a -2
  • (6,~3,~0,~-3,~-6,~\ldots) tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números (a_n) em que as diferenças entre os termos consecutivos \Delta a_n = a_{n+1}-a_n forma uma progressão aritmética.[4] Por exemplo, a sequência:

(1,~3,~7, ~13,~21,~31,~\ldots)

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos (\Delta a_n) é uma progressão aritmética de primeiro termo \Delta a_1 = 2 e razão r = 2.

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem k >= 2 é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem k-1.[4] [5]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b Spiegel, Murray R.. Teoria e problemas de álgebra. 2. ed. [S.l.]: Bookman. p. 251. ISBN 9788536303406.
  2. a b c d e f g Iezzi, G. et al.. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4. 8. ed. [S.l.]: Atual, 2012. ISBN 9788535717488.
  3. a b c d e f Medeiros, V. Z. et al.. Pré-Cálculo. 3. ed. [S.l.]: Trilha, 2013. ISBN 9788522116126.
  4. a b Lima, E. L. et al.. A Matemática do Ensino Médio - Volume 2. 6. ed. [S.l.]: SBM, 2006. ISBN 8585818115.
  5. Courant, Richard. Cálculo Diferencial e Integral. [S.l.]: Globo. p. 29.