Progressão aritmética

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Uma progressão aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r\,\!. O número r\,\! é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r' de resto(da subtração).

Alguns exemplos de progressão aritmética:

  • P.a.(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,...)\,\!, onde r=3\,\!.
  • P.a.(-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,...)\,\!, onde r=-2\,\!.
  • P.a.(6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...)\,\!, onde r=0\,\!.

Índice

[editar] Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

a_n=a_1+(n-1).r\,\!

[editar] Demonstração

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  • O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.
  • O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

a_2=a_1+r\,\!

  • O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

a_3=a_2+r \,\! a_2=a_1+r\,\!, portanto: a_3=(a_1+r)+r\,\! a_3=a_1+2r\,\!

  • O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

a_4=a_3+r\,\! a_3=a_1+2r\,\!, portanto: a_4=(a_1+2r)+r\,\! a_4=a_1+3r\,\!

  • Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

a_n=a_1+(n-1).r\,\! Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo: a_n = a_m + (n-m).r\,\!

[editar] Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética não infinita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

S_n=\frac{n.(a_1+a_n)}{2},\!

A soma dos termos entre a_p\,\! e a_q\,\! é:

S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!

Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor[1].

[editar] Demonstração

  • Expresse a p.a. de duas maneiras:

S_n=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+\dots\dots+(a_1+(n-2)r)+(a_1+(n-1)r)

S_n=(a_n-(n-1)r)+(a_n-(n-2)r)+\dots\dots+(a_n-2r)+(a_n-r)+a_n

  • Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo r se cancelam, e então ficamos com:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

  • Rearranjando e se lembrando que an = a1 + (n − 1)r, nós temos:

S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)r]}{2}.

[editar] Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:

a_n=a_k+(n-k).r\,\!

Onde:

an = Último termo da P.A.
ak = Primeiro termo da P.A.
n = Número total de termos da P.A.
k = Índice do primeiro termo da P.A.
r = Razão da P.A.

[editar] Tipos de progressões aritméticas

[editar] Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão aritmética constante:

  • P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
  • P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

[editar] Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).

Exemplos de progressão aritmética crescente:

  • P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
  • P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

[editar] Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).

Exemplos de progressão aritmética decrescente:

  • P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
  • P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

[editar] Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progessão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:

  • Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73)

Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.

[editar] Ver também

Referências

  1. ↑ (em inglês) Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote
Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica"