Progressão geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra $q$ (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• $\left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, \ldots\right),$ em que $q=2;$ 
• $\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256}, \ldots\right),$ em que $q=\frac{1}{2};$
• $\left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187, \ldots\right),$ em que $q=-3;$
• $\left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7, \ldots\right),$ em que $q=1;$
• $\left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0, \ldots\right),$ em que $q=0.$

Definição por recursão e fórmula do termo geral

Costuma-se denotar por $a_n$ o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial $a_1$ e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

• $a_n=a_1, n=1;$
• $a_{n+1}=q\cdot a_{n}, n=2,3,4,\ldots.$

É fácil demonstrar por indução matemática que

$a_n=a_1.q^{n-1}.$

Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero ($a_0$). Neste caso, o termo geral torna-se

$a_n = a_{0} \ q^n.$

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

$a_n = a_m \ q^{n - m} , ~~ n>m.$

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

$S_n = \sum_{i=1}^{n}a_1 q^{i-1} = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1}.$

Caso $q\neq 1,$ a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

$S_n = \frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1} = \frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}.$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

$S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}.$

Multiplica-se pela razão $q:$

$q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n.$

Subtrai-se a primeira da segunda, cancelando-se os termos repetidos:

$q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1,$

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

$\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right).$

Divide-se ambos os termos por $(q-1)\neq 0$ e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de $a_p$ até $a_q$ é calculada pela seguinte fórmula:

$S_{(p,q)} = \frac{a_p(1-q^{q-p+1})}{1-q}.$

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica

Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando $|q|<1.$ Sua soma é:

$S_\infty = \sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}.$

Se $q \geq 1$ e $a_1>0$ então sua soma é mais infinito e se $q \geq 1$ e $a_1<0,$ sua soma é menos infinito.

$S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\ +\infty, & q\geq 1, a_1>0\\ -\infty, & q\geq 1, a_1<0\\ 0, & a_1=0. \end{array}\right.$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso $q \le -1,$ por exemplo. $q$ pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

$P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}},$

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

$P_n = \prod_{i=1}^{n} a_{i}= (a_1 \times a_n)^{\frac{n}{2}},$

sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Ver também

• Wikilivros

• Progressão aritmética
• Progressão aritmético-geométrica
• Logaritmo
• Função exponencial
• Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas
• Série geométrica