Progressão geométrica

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Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra q (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

  • \left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, \ldots\right), em que q=2; [1]
  • \left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256}, \ldots\right), em que q=\frac{1}{2};
  • \left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187, \ldots\right), em que q=-3;
  • \left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7, \ldots\right), em que q=1;
  • \left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0, \ldots\right), em que q=0.

Definição por recursão e fórmula do termo geral[editar | editar código-fonte]

Costuma-se denotar por a_n o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a_1 e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

  • a_n=a_1, n=1;
  • a_{n+1}=q\cdot a_{n}, n=2,3,4,\ldots.

É fácil demonstrar por indução matemática que

a_n=a_1.q^{n-1}.

Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (a_0). Neste caso, o termo geral torna-se

a_n = a_{0} \ q^n.

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

a_n = a_m \ q^{n - m} , ~~ n>m.

Soma dos termos de uma P.G.[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

S_n = \sum_{i=1}^{n}a_1 q^{i-1} = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1}.

Caso q\neq 1, a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

S_n = \frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1} = \frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}.

Multiplica-se pela razão q:

 q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n.

Subtrai-se a primeira da segunda, cancelando-se os termos repetidos:

q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1,

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

\left( q-1 \right)  S_n  = a_1 \left( q^n - 1 \right).

Divide-se ambos os termos por (q-1)\neq 0 e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de a_p até a_q é calculada pela seguinte fórmula:

S_{(p,q)} = \frac{a_p(1-q^{q-p+1})}{1-q}.

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando |q|<1. Sua soma é:

S_\infty = \sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}.

Se q \geq 1 e a_1>0 então sua soma é mais infinito e se q \geq 1 e a_1<0, sua soma é menos infinito.

S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\
+\infty, & q\geq 1, a_1>0\\
-\infty, & q\geq 1, a_1<0\\
0,       & a_1=0.
\end{array}\right.

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso q \le -1, por exemplo. q pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}},

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

P_n = \prod_{i=1}^{n} a_{i}= (a_1 \times a_n)^{\frac{n}{2}},

sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Referências

  1. a b Encyclopaedia perthensis, editada por J. Brown (1816) [google books]