Progressão geométrica

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante $q\,\!$. Esta constante $q\,\!$ é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• $\left (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,...\right)\,\!$, em que $q=2\,\!$

• $\left (1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},...\right)\,\!$, em que $q=\frac{1}{2}\,\!$

• $\left (-3,9,-27,81,-243,729,-2187,...\right)\,\!$, em que $q=-3\,\!$

• $\left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,...\right) \,\!$, em que $q=1\,\!$

• $\left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...\right) \,\!$, em que $q=0\,\!$

Definição por recursão e fórmula do termo geral

Costuma-se denotar por $a_n$ o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial $a_1$ e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

• $a_n=a_1, n=1\,$
• $a_{n+1}=q\cdot a_{n}, n=2,3,4,\ldots$

É fácil demonstrar por indução matemática que:

$a_n=a_1.q^{n-1}\,\!$

Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero ($a_0$). Neste caso, o termo geral fica:

$a_n = a_{0} \ q^n\,$

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

$a_n = a_m \ q^{n - m} , ~~ n>m$

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:

$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, ~~n\ge 1$, veja notação de somatório

$S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada assim. Escreva:

$S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}\,$

Multiplique pela razão(q):

$q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n\,$

Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:

$q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1\,$

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a:

$\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \,$

Divida ambos os termos por: :$(q-1)\neq 0$ e o resultado segue.

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando $|q|<1$. Sua soma é:

$S_\infty=\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}$

Agora, se $q \geq 1$ e $a_1>0$ então sua soma é mais infinito e se $q \geq 1$ e $a_1<0$, sua soma é menos infinito.

$S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\ +\infty, & q\geq 1, a_1>0\\ -\infty, & q\geq 1, a_1<0\\ 0, & a_1=0; \end{array}\right.$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso $q\ge-1$, por exemplo. Observe também que $q$ pode ser complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma P.G.

O produto dos termos de uma Progressão Geometrica, a partir do primeiro, é dada por: $P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}$

O produto também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: $P_n = \prod_{i=1}^{n} a_{i}= (a_1 \times a_n)^{\frac{n}{2}}$, sendo similar à forma do Somatória da P.A..

Classificação das progressões geométricas

As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda aquela em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).

Exemplos de progressão geométrica constante:

• P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
• P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a₁ negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.

Exemplos de progressão geométrica crescente:

• P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
• P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
• P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razão q = 1/10

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a₁ negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.

Exemplos de progressão geométrica decrescente:

• P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
• P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica oscilante:

• P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
• P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

Progressão geométrica quase nula

Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão geométrica quase nula:

• P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
• P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0

Progressão Aritmética Geométrica

Uma progressão aritmética geométrica é o produto de uma progressão aritmética por uma progressão geométrica.

O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos.

Ver também

• Wikilivros

• Progressão aritmética
• Progressão aritmético-geométrica
• Logaritmo
• Função exponencial
• Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas
• Série geométrica