Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r.$ O número $r$ é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.^[1]^[2]^[3]

Definição

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definida recursivamente por:^[2]^[3]

$a_{n}=a_{n-1}+r,\quad n>1$ ,

onde o primeiro termo, $a_{1}$ , é um número dado. O número $r$ é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

$r=a_{n}-a_{n-1},\quad n>1$ .

Exemplos:

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

$(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$ é uma progressão aritmética em que o primeiro termo $a_{1}$ é igual a $1$ e a razão $r$ é igual a $3$ .
$(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$ é uma P.A. em que $a_{1}=-2$ e $r=-2.$
$(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$ é uma P.A. com $a_{1}=6$ e $r=0.$

Fórmula do termo geral

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por $a_{n},$ pode ser obtido por meio da formula:^[1]^[2]^[3]

a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r,

em que:

$a_{1}$ é o primeiro termo;
$r$ é a razão.

Demonstração

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto $a_{2}=a_{1}+1\cdot r;$
Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para $n-1,$ ou seja, que $a_{n-1}=a_{1}+(n-2)\cdot r,$ resulta que o n-ésimo termo é dado por:

a_{n}=a_{n-1}+r=(a_{1}+(n-2)\cdot r)+r=a_{1}+((n-2)\cdot r+r)=a_{1}+(n-1)\cdot r.

Propriedades

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o $n$ -ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do $m$ -ésimo termo por:

$a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r$ .

Com efeito, $a_{m}+(n-m)r=a_{1}+(m-1)r+(n-m)r=a_{1}+(n-1)r=a_{n}$ .

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\quad n>1$

ou seja, a partir do segunda termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

${\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}={\frac {a_{1}+(n-2)r+a_{1}+nr}{2}}={\frac {2(a_{1}+(n-1)r)}{2}}=a_{n}$ .

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de $a_{p}$ até $a_{q}$ é calculada pela seguinte fórmula:

S_{(p,q)}={\frac {(q-p+1)\cdot (a_{p}+a_{q})}{2}}.

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

S_{n}={\frac {n\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}}

ou

S_{n}={\frac {n}{2}}\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)

Exemplo: Seja $PA=(10,8,6,4,2)$ , qual é a soma dos 4 primeiros números?

   ${\begin{aligned}S_{4}&={\frac {4}{2}}\cdot \left(10+4\right)\\S_{4}&=2\cdot 14\\S_{4}&=28\end{aligned}}$

Demonstrações

Considerando a PA $(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n}),$ a soma $S_{n}$ de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}

S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{2}+a_{1}

Somando membro a membro, obtemos:

2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})

2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{1}+a_{n})

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

(a_{2}+a_{n-1})=(a_{1}+r+a_{n}-r)=(a_{1}+a_{n})

(a_{3}+a_{n-2})=(a_{1}+2r+a_{n}-2r)=(a_{1}+a_{n})

e assim por diante

2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+...+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})

Então, como há $n$ pares de termos:

2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n

S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}

Interpolação aritmética

Dada uma sequência finita $(a_{1},~a_{2},~\ldots ,~a_{n})$ , chamamos $a_{1}$ e $a_{n}$ de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) $k$ meios entre dois números dados $a$ e $b$ , de forma a obtermos uma progressão aritmética de $n=k+2$ termos, sendo $a$ e $b$ seus extremos.^[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de $k$ termos meios entre dois números dados $a$ e $b$ tem primeiro termo $a_{1}=a$ e razão:

$r={\frac {b-a}{k+1}}$ .

Com efeito, vemos que tomando $n=k+2$ , temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

$a_{n}=a+(k+2-1){\frac {b-a}{k+1}}=b$

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.^[2]^[3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

$(5,~5,~5,~5,~5,~5,~\ldots )$ tem razão r = 0
$(0,~0,~0,~0,~0,~0,~\ldots )$ tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).^[2]^[3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

$(2,~4,~6,~8,~10,~\ldots )$ com razão r = 2
$(3,~6,~9,~12,~15,~\ldots )$ com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).^[2]^[3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

$(6,~4,~2,~0,~-2,~\ldots )$ tem razão igual a -2
$(6,~3,~0,~-3,~-6,~\ldots )$ tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números $(a_{n})$ em que as diferenças entre os termos consecutivos $\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ forma uma progressão aritmética.^[4] Por exemplo, a sequência:

$(1,~3,~7,~13,~21,~31,~\ldots )$

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos $(\Delta a_{n})$ é uma progressão aritmética de primeiro termo $\Delta a_{1}=2$ e razão $r=2$ .

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem $k>=2$ é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem $k-1$ .^[4]^[5]

Ver também

Referências

↑ ^a ^b Spiegel, Murray R. Teoria e problemas de álgebra 2 ed. [S.l.]: Bookman. p. 251. ISBN 9788536303406
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Iezzi, G.; et al. (2012). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4 8 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717488
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Medeiros, V. Z.; et al. (2013). Pré-Cálculo 3 ed. [S.l.]: Trilha. ISBN 9788522116126
↑ ^a ^b Lima, E. L.; et al. (2006). A Matemática do Ensino Médio - Volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115
↑ Courant, Richard. Cálculo Diferencial e Integral. [S.l.]: Globo. p. 29

[Spiegel-Moyer-1] Spiegel, Murray R. Teoria e problemas de álgebra 2 ed. [S.l.]: Bookman. p. 251. ISBN 9788536303406

[:0-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Iezzi, G.; et al. (2012). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4 8 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717488

[:1-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Medeiros, V. Z.; et al. (2013). Pré-Cálculo 3 ed. [S.l.]: Trilha. ISBN 9788522116126

[:2-4] Lima, E. L.; et al. (2006). A Matemática do Ensino Médio - Volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115

[5] Courant, Richard. Cálculo Diferencial e Integral. [S.l.]: Globo. p. 29

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[4]

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