Proporcionalidade

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A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que igual(em) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto X \subseteq \mathbb{R} e duas funções f, g: X \to \mathbb{R}, temos que: f é proporcional a g se e só se existe alguma constante real k tal que, para todo x ao longo de X, \frac{f(x)}{g(x)} = k Isso é

f \propto g \iff \exists k \in \mathbb{R} .\quad \forall x \in X .\quad \frac{f(x)}{g(x)} = k

Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.

Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para k.

\forall x \in X .\quad k \in \left\{ \frac{f(x)}{g(x)}, \frac{g(x)}{f(x)} \right\}

E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:

Equivalente[editar | editar código-fonte]

A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

Reflexiva[editar | editar código-fonte]

Toda função é proporcional a si mesma.

f \propto f

Provada a partir da definição:

\forall x \in X .\quad \frac{f(x)}{f(x)} = 1

Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.

Comutativa (ou "Simétrica")[editar | editar código-fonte]

Não existe uma ordem exacta dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.

f \propto g \iff g \propto f

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

\forall x \in X .\quad k \in \left\{ \tfrac{f(x)}{g(x)}, \tfrac{g(x)}{f(x)} \right\} = \left\{ \tfrac{g(x)}{f(x)}, \tfrac{f(x)}{g(x)} \right\}

Transitiva[editar | editar código-fonte]

A proporcionalidade é transitiva:

f \propto g \and g \propto h \iff f \propto h

Portando a expressão acima pode ser simplificada em:

f \propto g \propto h

Prova-se a partir da definição:

\begin{align}
           \forall x \in X .\quad f(x) &= \alpha \cdot g(x)    \\
           \forall x \in X .\quad g(x) &= \beta  \cdot h(x)     \\
\therefore \forall x \in X .\quad f(x) &= \alpha\beta \cdot h(x) \\
\end{align}

O produto entre constantes é constante.

Mecanismos de resolução[editar | editar código-fonte]

Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

  1. Multiplicação de ambos os termos
  2. Inversão de ambos os termos
  3. Eliminação de constantes

Algorítimos[editar | editar código-fonte]

  1. "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"
  2. "Regra de três composta"

Deduzindo proporcionalidades a partir de igualidades[editar | editar código-fonte]

Considere, por exemplo, a equação de Clapeyron:

\forall t \in \mathfrak{T} .\quad P(t) \cdot V(t) = n(t) \cdot R \cdot T(t)

Formas de proporcionalidade[editar | editar código-fonte]

Retórica Simbologia Exemplo
"variação proporcional" \Delta a \propto \Delta b Retas paralelas
"directamente proporcional" a \propto b Semelhança de triângulos
"inversamente proporcional" ab \propto 1 Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume)
"proporcional ao quadrado" a \propto b^2 Esfera (raio e volume)
"inversamente proporcional ao quadrado" ab^2 \propto 1 Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância)
"proporcional ao cubo" a \propto b^3 Semelhança de pirâmides
"inversamente proporcional ao cubo" ab^3 \propto 1 Força dipolo permanente (força e distância)
"quadrado proporcional ao cubo" a^2 \propto b^3 Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior)
"em divina proporção" \tfrac{a+b}{a} = \tfrac{a}{b} As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça.

Proporcionalidade inversa[editar | editar código-fonte]

Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é proporcional ao inverso multiplicativo da outra.

a \propto b^{-1} \iff b \propto a^{-1}

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:

ab \propto 1

"Divina proporção"[editar | editar código-fonte]

Quando o "número de ouro" \left( \varphi \approx 1,618 \right) é uma constante duma relação verdadeira de proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.

Isso ocorre se e somente se:

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \quad\therefore\quad \frac{a}{b} = \varphi

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.

A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

Linearização[editar | editar código-fonte]

Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante proporção direta. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a troca de variáveis e as linearizações, que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em séries de Taylor desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para maiores informações sobre o assunto.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

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