Proporcionalidade

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é uma relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três".Quando existe proporcionalidade direta, ao resultado chama-se, constante de proporcionalidade.

Índice

[editar] Definição

A proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais inversíveis.

\exists ! \propto : \mathbb{R_*}^2 \to \mathbb{B}

Uma função é proporcional a outra se e somente se existe um uníco conjunto de ou um (se a=b) ou dois (se a≠b) reais constantes (denominados constantes de proporcionalidade) que são iguais aos quocientes entre uma e outra:

\forall a,b \in \mathbb{R_*}^2 \quad\quad a \propto b \iff \exists ! k \quad k = \frac{a}{b}

O conjunto de constantes é dado por:

k \in \left\{ \frac{a}{b}, \frac{b}{a} \right\}

E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

[editar] Propriedades

Propriedades da proporcionalidade demonstradas e provadas abaixo:

[editar] Equivalente

A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

[editar] Reflexiva

Toda função é proporcional a si mesma.

a \propto a

Provada apartir da definição:

\frac{a}{a} = 1

QED. Diga-se de passagem, este é o único caso em que existe uma só constante de proporcionalidade.

[editar] Comutativa (ou "Simétrica")

Não existe ordem entre os argumentos d'uma proporcionalidade.

a \propto b \iff b \propto a

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

\left\{ \tfrac{a}{b}, \tfrac{b}{a} \right\} = \left\{ \tfrac{b}{a}, \tfrac{a}{b} \right\}

QED.

[editar] Transitiva

A proporcionalidade é transitiva:

a \propto b \and b \propto c \iff a \propto c

Portando a expressão acima pode ser simplificada em:

a \propto b \propto c

Provada apartir da definição:

\begin{align} a &= k_1 \cdot b \\ b &= k_2 \cdot c \\ \therefore a &= k_1 k_2 \cdot c \\ \end{align}

O produto entre constantes é constante – QED.

[editar] Mecanismos de resolução

Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

  1. Multiplicação de ambos os termos
  2. Inversão de ambos os termos
  3. Eliminação de constantes

[editar] Algorítimos

  1. "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"
  2. "Regra de três composta"

[editar] Formas de proporcionalidade

Retórica Simbologia Exemplo
"variação proporcional" \Delta a \propto \Delta b Retas paralelas (de acordo com a geometria analítica)
"directamente proporcional" a \propto b Semelhança de triângulos
"inversamente proporcional" ab \propto 1 Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume)
"proporcional ao quadrado" a \propto b^2 Esfera (raio e volume)
"inversamente proporcional ao quadrado" ab^2 \propto 1 Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância)
"proporcional ao cubo" a \propto b^3 Semelhança de pirâmides
"inversamente proporcional ao cubo" ab^3 \propto 1 Força dipolo permanente (força e distância)
"quadrado proporcional ao cubo" a^2 \propto b^3 Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior)
"em divina proporção" \tfrac{a+b}{a} = \tfrac{a}{b} As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça.

[editar] Proporcionalidade inversa

Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é porporcional ao inverso multiplicativo da outra.

a \propto b^{-1} \iff b \propto a^{-1}

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:

ab \propto 1

[editar] "Divina proporção"

Quando o "número de ouro" \left( \varphi \approx 1.618 \right) é uma constante d'uma relação verdadeira de proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.

Isso ocorre se e somente se:

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \quad\therefore\quad \frac{a}{b} = \varphi

[editar] Aplicações

Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.

A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

[editar] Ver também

Wikilivros

[editar] Bibliografia


Lightning animation.gif Este artigo é um esboço sobre Física. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
E-to-the-i-pi.svg Este artigo é um esboço sobre Matemática. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidade"