Propriedade de grande cardinal

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Em matemática, especialmente na área da teoria dos conjuntos, uma propriedade de grande cardinal é um certo tipo de propriedade de números cardinais transfinitos. Falando intuitivamente, cardinais com tais propriedades, como o nome sugere, são muito grandes: maiores que  \aleph_0 (a cardinalidade dos números naturais), maiores que  2^{\aleph_0} (a cardinalidade do contínuo), maiores que  \aleph_\omega , etc.

Características[editar | editar código-fonte]

Na teoria dos cardinais transfinitos de Cantor eram considerada uma sucessão infinita de tais cardinais:

 \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots, \aleph_n, \dots, \aleph_\omega, \aleph_{\omega+1}, \aleph_{\omega+2}, \dots, \aleph_{\omega+\omega}, \dots, \aleph_{\omega_{_1}}, \dots, \aleph_{\omega_{_2}}, \dots, \aleph_{\omega_\omega}, \dots

Entretanto, já em 1908 Haussdorf questiona a existência de cardinais maiores, cardinais limites regulares, que em 1914 denomina como "cardinais exorbitantes", nome adotado por Zermelo no seu trabalho de 1930. Com o surgimento da teoria axiomática de conjuntos ZFC, essa proposta poderia assumir uma forma mais precisa como:

a) Um cardinal cuja existência não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC for consistente;
b) esse cardinal é maior que todos aqueles cuja existência possa ser demonstrada em ZFC.

Esse critério é super abundante, pois coloca muitas propriedades que podem ser muito pouco interessantes. Por exemplo, dada um propriedade  P de grande cardinal e sendo  \kappa o primeiro cardinal com essa propriedade  P , o cardinal sucessor  \kappa^{+} também teria uma propriedade de grande cardinal: ser o sucessor do primeiro cardinal com a propriedade  P , coisa que pode resultar muito pouco interessante.

Por esse motivo, alguns autores preferem uma definição mais imprecisa, mas que atenda a critérios valorativos para ser "mais interessante". Por exemplo, ma propriedade de grande cardinal pode ser determinada pelas seguintes características:[1]

a) Um cardinal com essa propriedade é essencialmente "maior" que cardinais com propriedades mais fracas;
b) produz consequências que tornam a teoria de conjuntos "mais forte", por exemplo, novas propriedades combinatórias.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Um cardinal é fortemente inacessível se ele for maior que \aleph_0\,, ele não pode ser obtido através da repetição da operação de pegar um cardinal x e computar (usando aritmética cardinal) 2x, e se a sua cofinalidade for igual a ele mesmo, ou seja, é regular.

Mais precisamente, λ é um cardinal fortemente inacessível se:

  • \lambda > \aleph_0\,
  • para todo k < λ temos que 2k < λ.
  • qualquer subconjunto k de λ que satisfaça \forall x \in \lambda, \exists y \in k, x < y\, tem cardinalidade igual a λ

A existência de um cardinal fortemente inacessível é uma propriedade de grande cardinal: esse cardinal será "grande", Vλ do Universo de von Neumann, com λ inacessível, será um modelo da teoria dos conjuntos ZFC (os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha), se ZFC é consistente.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • KANAMORI, A.; MAGIDOR, M.. In: MÜLLER, G.H.; SCOTT, D.S.. Higher set theory (em inglês). Berlin: Springer, 1978. Capítulo: The evolution of large cardinal axioms in set theory. , p. 99−275. (Lecture Notes in Mathematics 669)

Referências


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