Prova inválida

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, uma prova inválida é uma sequência aparentemente lógica de afirmações que geram uma conclusão absurda. Como uma verdade não pode implicar uma falsidade, conclui-se que deve haver algum passo falso na prova.

A maioria dessas provas usa a divisão por zero e a raiz quadrada. Por exemplo, prova-se que 2 + 2 = 5 escrevendo-se (2 + 2 - 5) (2 - 2) = 0, reagrupando-se os termos como (2 + 2) (2 - 2) = 5 (2 - 2) e cancelando o termo (2-2). Ou prova-se que 1 = -1 escrevendo-se (1)^2 = (-1)^2 e cancelando o expoente.

Não deve ser confundido com o paradoxo, que, em sua maioria, são resultados válidos mas que vão contra a intuição.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Prova que -2 = 1[editar | editar código-fonte]

Vamos começar com uma equação bem simples.

  • Resolva a equação \sqrt[3] {1-x} + \sqrt[3] {x-3} = 1\,
  • Elevando ao cubo:
(1-x) + 3 \sqrt[3]{1-x} \ \sqrt[3]{x-3} \ (\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{x-3}) + (x-3) = 1\,
  • Substituindo a expressão entre parêntesis pelo valor da equação inicial:
-2 + 3 \sqrt[3]{1-x} \ \sqrt[3]{x-3} = 1\,
\sqrt[3]{1-x} \ \sqrt[3]{x-3} = 1\,
  • Elevando ao cubo essa nova relação:
(1-x) (x-3) = 1\,
-x^2 + 4 x - 3 = 1\,
x^2 - 4 x + 4 = 0\,
  • A solução desta equação é x = 2. Substituindo na equação original, chegamos a:
\sqrt[3] {1-2} + \sqrt[3] {2-3} = 1\,
  • Logo:
(-1) + (-1) = 1\,

Q.E.D.


Prova que x = y para todo x, y[editar | editar código-fonte]

  • Sejam x e y dois números quaisquer
  • Então vamos definir a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,
  • Vamos definir também u = a \ , \ v = b - c\,
  • Vamos calcular agora duas expressões em u e v:
(u + \sqrt {v})^3 = u^3 + 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v + v \sqrt{v}
(u - \sqrt {v})^3 = u^3 - 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v - v \sqrt{v}
  • Substituindo os valores u = a \ , \  v = b - c, chegamos a:
(a + \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) + (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}
(a - \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) - (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}
  • Vamos agora calcular o valor de 3 a^2 + b - c\,
  • Substituindo a = x - y \ , \  b = (x + y)^2 \ , \  c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,:
3 a^2 + b - c = 3 (x^2 - 2 x y + y^2) + x^2 + 2 x y + y^2 - 4 (x^2 - x y + y^2) = 0\,
  • Logo:
(a + \sqrt{b - c})^3 = (a - \sqrt {b - c})^3\,
a + \sqrt{b - c} = a - \sqrt {b - c}\,
\sqrt {b - c} = 0\,
b - c = 0\,
b = c\,
  • Substituindo b = (x + y)^2 \ , \  c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,:
(x + y)^2 = 4 (x^2 - x y + y^2)\,
x^2 + 2 x y + y^2 = 4 (x^2 - x y + y^2)\,
-3 x^2 + 6 x y - 3 y^2 = 0\,
(x - y)^2 = 0\,
x - y = 0\,
x = y\,

Q.E.D.