Prova por contradição

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Prova por contradição (ou redução ao absurdo, do latim reductio ad absurdum) é um método de prova matemática indireta, não-construtiva. Este tipo de prova é feito assumindo-se como verdade o contrário do que queremos provar e então chegando-se a uma contradição.

A prova por contradição é muito usada em teoremas de existência. Neste caso, é usada para provar a existência de um elemento com determinada característica, sem no entanto mostrar tal elemento. Por esta razão, alguns matemáticos a evitam quando possível, preferindo métodos de prova construtivos. O fato é que existem teoremas para os quais só se conhece prova por contradição, como o argumento de diagonalização de Cantor para demonstrar a não-enumerabilidade dos números reais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Prove que existem infinitos números primos.

Prova: Suponha por absurdo, que existem n (uma quantidade finita) números primos, denotados por p1, p2, ..., pn. Considere o número x = p1p2...pn + 1. O número x não é divisível por nenhum dos números p1, p2, ..., pn (o resto da divisão é sempre 1). Logo, x é primo. Isto contradiz a nossa hipótese inicial de que existem apenas n números primos. Então nossa hipótese inicial está errada e portanto existem infinitos números primos.

Ver também[editar | editar código-fonte]