Quádrica

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Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:

  • Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \,

Superfícies[editar | editar código-fonte]

Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral for cortada por um plano, a curva de interseção será uma cônica.

Superfície Esférica[editar | editar código-fonte]

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo P = (x,y,z) \in S\, e C = (x_o,y_o,z_o)\, então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

(x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 + (z - z_o)^2 = r^2\,

Se aproximarmos um plano \pi\, de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

\pi \cap S = \{ Pt \}\,

\overline {C \ Pt } \perp \pi\,

d(C, \pi) = r\,

Porém, se o plano \pi tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que d(C, \pi) < r\,.

Superfície Cilíndrica[editar | editar código-fonte]

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície Cônica[editar | editar código-fonte]

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície de Rotação[editar | editar código-fonte]

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.

r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.

Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).

S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.

Superfícies Quádricas[editar | editar código-fonte]

Relação das superfícies quádricas da sua fórmula e desenho:
Superfície quádrica Fórmulas Desenho
Elipsoide {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \, Quadric Ellipsoid.jpg
Elipsoide de revolução (caso particular do elipsoide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \,
Esfera (caso particular do elipsoide de revolução) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \,
Paraboloide elíptico {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
Paraboloide de revolução (caso particular do paraboloide elíptico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0  \,
Paraboloide hiperbólico {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0  \, Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
Hiperboloide de uma folha {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \, Quadric Hyperboloid 1.jpg
Hiperboloide de duas folhas  - {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \, Quadric Hyperboloid 2.jpg
Cone {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \, Quadric Cone.jpg
Cilindro elíptico {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \, Quadric Elliptic Cylinder.jpg
Cilindro circular {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1  \,
Cilindro hiperbólico {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \, Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
Cilindro parabólico x^2 + 2y = 0 \, Quadric Parabolic Cylinder.jpg

Referências

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo. (2005). Geometria Analítica: um Tratamento Vetorial. Makron Books. 3ª edição. ISBN 8587918915.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]