Quadrado mágico

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Um quadrado mágico em A Melancolia, de Albrecht Dürer, 1514.

Quadrado Mágico é uma tabela quadrada de números em progressão aritmética em que a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais são iguais.[1]

Veja o exemplo:


\,\!
\begin{matrix}
&&&&15\\
&&&\nearrow&\\
2&7&6&\rightarrow&15\\
9&5&1&\rightarrow&15\\
4&3&8&\rightarrow&15\\
\downarrow&\downarrow&\downarrow&\searrow&\\
15&15&15&&15
\end{matrix}


Sua origem não é conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores à nossa era na China e na Índia. O quadrado de 9 casas (3 x 3) é encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot.[2]

Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a eles o poder de atrair proteção astral para seus detentores.

Classificações[editar | editar código-fonte]

Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial devido a suas singularidades. São eles:

  • Imperfeito ou Defeituoso

O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não;

  • Hipermágico

O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um outro quadrado mágico; e

  • Diabólico

É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá-lo.

Dicas[editar | editar código-fonte]

Dicas para solucionar o quadrado mágico 3x3:

  1. O total que se quer obter em todos os sentidos deverá ser dividido por 3. O que resultará no número a ser colocado no centro do quadrado.
  2. Os números a serem colocados nos cantos deverão ser pares se o centro for ímpar, ou vice e versa.
  3. O último número a ser colocado deverá ser o centro mais 4.

Essas regras só valem se os números forem múltiplos de 3. Ex: 15, 18, 21, 24, 27, 30 etc.

Quadrado de Dürer[editar | editar código-fonte]

O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto superior direito da gravura Melancholia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui se apresenta a disposição dos números no quadrado:

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Detalhe direito superior de Melancolia I
Melancolia I (1514) Gravura

Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades

  • Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra.
  • Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra é A), de “Dürer, Albrecht”.
  • A soma dos números de qualquer das linhas é sempre 34
  • A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34
  • A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34
  • A soma dos 4 números que nas 4 casas centrais é 34
  • A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34
  • A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34
  • A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34
  • A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. (ver abaixo estas 2 últimas somas)

Em negrito 3 + 5 + 12 + 14 = 34; em itálico 2 + 8 + 9 + 15 = 34

16 3 (2) 13
5 10 11 (8)
(9) 6 7 12
4 (15) 14 1


  • Curiosidade:O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown o símbolo perdido

Na Astrologia[editar | editar código-fonte]

Eis a relação entre as casas e os planetas:

  • Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno;
  • Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter;
  • Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte;
  • Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol
  • Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus;
  • Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio;
  • Quadrado de 9, compreendendo 81 casas: Lua;
Saturno=15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Júpiter=34
4 14 15 1
9 7 6 12
5 11 10 8
16 2 3 13
Marte=65
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
Sol=111
6 32 3 34 35 1
7 11 27 28 8 30
19 14 16 15 23 24
18 20 22 21 17 13
25 29 10 9 26 12
36 5 33 4 2 31
Vênus=175
22 47 16 41 10 35 4
5 23 48 17 42 11 29
30 6 24 49 18 36 12
13 31 7 25 43 19 37
38 14 32 1 26 44 20
21 39 8 33 2 27 45
46 15 40 9 34 3 28
Mercúrio=260
8 58 59 5 4 62 63 1
49 15 14 52 53 11 10 56
41 23 22 44 45 19 18 48
32 34 35 29 28 38 39 25
40 26 27 37 36 30 31 33
17 47 46 20 21 43 42 24
9 55 54 12 13 51 50 16
64 2 3 61 60 6 7 57
Lua=369
37 78 29 70 21 62 13 54 5
6 38 79 30 71 22 63 14 46
47 7 39 80 31 72 23 55 15
16 48 8 40 81 32 64 24 56
57 17 49 9 41 73 33 65 25
26 58 18 50 1 42 74 34 66
67 27 59 10 51 2 43 75 35
36 68 19 60 11 52 3 44 76
77 28 69 20 61 12 53 4 45

Fontes[editar | editar código-fonte]

  1. Charles Hutton, A philosophical and mathematical dictionary (1815), Magical Square [google books]
  2. Marcelin Berthelot, Collection des anciens alchimistes grecs (3 vol., Paris, 1887–1888).
  • BAYARD, Jean-Pierre. Os Talismãs: Psicologia e poderes dos símbolos de proteção. São Paulo: Editora Pensamento, 1985 (ISBN 85-315-0647-6).
  • BOUCHER. Jules. A Simbólica Maçônica: Segundo as Regras da Simbólica Tradicional. 11.ª Edição - São Paulo: Editora Pensamento. 2006. (ISBN 85-315-0625-5).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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