Quadrado mágico

Um quadrado mágico em A Melancolia, de Albrecht Dürer, 1514.

Quadrado Mágico é uma tabela quadrada de lado $\,\!n$, onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete. Veja o exemplo:

$\,\! \begin{matrix} &&&&15\\ &&&\nearrow&\\ 2&7&6&\rightarrow&15\\ 9&5&1&\rightarrow&15\\ 4&3&8&\rightarrow&15\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&\searrow&\\ 15&15&15&&15 \end{matrix}$

Sua origem não é bem definida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores a nossa era na China e na Índia. O quadrado de 3 é encontrado a primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot.

Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuiam ao mesmo o poder de atrair o influxo astral destes para proteção de seus detentores.

Classificações

Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial devido a suas singularidades. São eles:

• Imperfeito ou Defeituoso

O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não;

• Hipermágico

O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um outro quadrado mágico; e

• Diabólico

É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá-lo.

Dicas

Dicas para solucionar o quadrado mágico 3x3:

1. O total que se quer obter em todos os sentidos deverá ser dividido por 3. O que resultará no número a ser colocado no centro do quadrado.
2. Os números a serem colocados nos cantos deverão ser pares se o centro for ímpar, ou vice e versa.
3. O último número a ser colocado deverá ser o centro mais 4.

Essas regras só valem se os números forem múltiplos de 3. Ex: 15, 18, 21, 24, 27, 30 etc.

Quadrado de Dürer

O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto superior direito da gravura Melancholia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui se apresenta a disposição dos números no quadrado:

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Detalhe direito superior de Melancolia I

Melencolia I (1514) Gravura

Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades

• Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra.
• Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra é A), de “Dürer, Albrecht”.
• A soma dos números de qualquer das linhas é sempre 34
• A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34
• A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34
• A soma dos 4 números que nas 4 casas centrais é 34
• A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34
• A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34
• A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34
• A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. (ver abaixo estas 2 últimas somas)

Em negrito 3 + 5 + 12 + 14 = 34; em itálico 2 + 8 + 9 + 15 = 34

16	3	(2)	13
5	10	11	(8)
(9)	6	7	12
4	(15)	14	1

Na Astrologia

Eis a relação entre as casas e os planetas:

• Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno;
• Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter;
• Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte;
• Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol;
• Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus;
• Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio;
• Quadrado de 9, compreendendo 81 casas: Lua;

Fontes

• BAYARD, Jean-Pierre. Os Talismãs: Psicologia e poderes dos símbolos de proteção. São Paulo: Editora Pensamento, 1985 (ISBN 85-315-0647-6).
• BOUCHER. Jules. A Simbólica Maçônica: Segundo as Regras da Simbólica Tradicional. 11.ª Edição - São Paulo: Editora Pensamento. 2006. (ISBN 85-315-0625-5).

Ligações externas

• Quadrados mágicos com vários símbolos (em inglês)
• Wolfram MathWorld (em inglês)
• Métodos para enumerar quadrados mágicos (em inglês)